Problem dotyczący definicji spinora
Próbuję w prosty sposób zrozumieć, czym jest spinor, w ten sposób natknąłem się na dwie różne definicje spinora:
Pierwsza definicja:
jeśli$|\psi\rangle$ to ogólny stan spinu $1/2$ cząstkę można następnie rozłożyć w następujący sposób:
$$|\psi\rangle=c_+|+\rangle+c_-|-\rangle$$
gdzie $|+\rangle,|-\rangle$ są stanami własnymi trzeciej składowej spinu ($S_z$), i $c_+,c_-$są liczbami zespolonymi. Możemy to również zapisać jako:
$$|\psi\rangle=\begin{pmatrix}c_+ \\ c_-\end{pmatrix}$$
iw tej formie zazwyczaj wolimy pisać $u$ zamiast $|\psi\rangle$. Ten wektor 2D reprezentujący stan cząstki nazywany jest spinorem .
Druga definicja:
biorąc pod uwagę spinową cząstkę$1/2$ możemy zapisać jego funkcję falową (z jakiegoś powodu) w następujący sposób:
$$\psi(\vec{x})=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}(\vec{x}) \\ \psi _{-1/2}(\vec{x})\end{pmatrix}$$falowa cząstki , napisane w ten sposób, nazywa Spinor .
Szukam pomostu między tymi dwoma definicjami, a także sposobu na usunięcie brzydkiego „z jakiegoś powodu” z drugiego stwierdzenia. W związku z tym: w moich notatkach z wykładów jest następujący: $$\psi(\vec{x})=\langle\vec{x}|\psi\rangle=\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle$$ ten krok jest w porządku, ponieważ jest to po prostu zastosowanie operatora tożsamości, ale wtedy: $$\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle=\sum _{l,m,s_z}Y_{l,m}(\theta , \phi)u_{s_z}c^{s_z}_{l,m}(r) \ \ \ \ \ \ (1)$$ ale w każdym razie, jeśli weźmiemy (1) za pewnik, to mamy:
$$\psi(\vec{x})=\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi)\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}c^{1/2}_{l,m}(r)+\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi)\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}c^{-1/2}_{l,m}(r)=$$$$=\begin{pmatrix}\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi) c^{1/2}_{l,m}(r) \\ \sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi) c^{-1/2}_{l,m}(r)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}(r , \theta , \phi) \\ \psi_{-1/2}(r , \theta , \phi) \end{pmatrix}$$
od $u_{s_z}$ jest w rzeczywistości wektorem 2D, który jest stanem własnym operatora spinu.
Ale mam ogromny problem z równaniem (1): nie rozumiem, jak możemy udowodnić, że lewa strona jest równa prawej stronie. Dlaczego tam jest$Y(\theta , \phi)$? (gdzie$Y$ to oczywiście sferyczne harmoniczne, czyli funkcje własne momentu pędu) $c^{s_z}_{l,m}(r)$ i dlaczego tak jest $r$zależny? Dlaczego się pojawia$u_{s_z}$?
Odpowiedzi
Pierwsze równanie: $$|\psi\rangle=c_+|+\rangle+c_-|-\rangle$$ jest formą ogólną dla dowolnego czystego stanu w systemie dwupoziomowym. Przestrzeń wszystkich znormalizowanych par ($c_+$, $c_-$) nazywane są Kulą Blocha.
Ponieważ odnosi się to do dowolnego systemu dwupoziomowego, nie wyjaśnia on szczególnie dobrze fizycznej natury spinora. W rzeczywistości w wielu scenariuszach nauczania może to prowadzić do zamieszania. Dzieje się tak z powodu terminów „rozpędzanie się” i „rozpędzanie”. To prowadzi niewtajemniczonych do myślenia, że spin jest wyrównany lub anty-wyrównany z wielkością$\frac 1 2$ (w jednostkach $\hbar$), nie o to chodzi.
Cząstka o spinie 1/2 ma moment pędu równy
$$\sqrt{s(s+1)} = \frac{\sqrt 3} 2$$
a stany własne pozwalają poznać tylko rzut na pojedynczą oś, czyli $\frac 1 2$. Oznacza to, że w pliku$S_z$ stan własny, nadal istnieje:
$$ S_{x \& y} = \sqrt{s(s+1)-s^2} = \frac 1 {\sqrt 2}$$
jednostki momentu pędu, które są równomiernie rozłożone w $x-y$samolot. Fakt ten wraz z relacjami komutacji:
$$ [S_i, S_j] = 2i\epsilon_{ijk}S_k$$
a umiejętność kwantyzacji spinu na dowolnej osi ma kluczowe znaczenie dla zrozumienia spinorów.
Krótko mówiąc, współczynniki można zapisać jako:
$$ c_+ = \cos{\theta/2}e^{-i\phi/2} $$ $$ c_- = \sin{\theta/2}e^{+i\phi/2} $$
i podczas gdy dowolna para ($\theta,\phi$) reprezentuje superpozycję w pierwotnej podstawie, jest to czysty stan rozpędzenia, gdy jest skwantyzowany wzdłuż osi wskazującej na ($\theta, \phi$) kierunek.
Więc to jest spinowa część funkcji falowej. Jeśli zapiszesz funkcję fali spinowej jako wektor kolumnowy (twoje drugie równanie) i połączysz ją z rozkładową funkcją fali przestrzennej, otrzymasz: $$\Psi(\vec{x})=\psi( \vec x)\begin{pmatrix}c_+\\ c_-\end{pmatrix}$$ To reprezentuje cząstkę z przestrzenną funkcją falową i nieplątanym spinem. W najbardziej ogólnym przypadku komponenty przestrzeni i spinu mogą być splątane, a to wymaga twoich 3 równań:
$$\psi(\vec{x})=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}( \vec x) \\ \psi _{-1/2}(\vec{x})\end{pmatrix}$$
Jest to wymagane w przypadku systemów takich jak eksperyment Sterna-Gerlacha.
Jeśli spojrzymy tylko na jeden przestrzenny składnik funkcji falowej, np. $\psi_+(\vec x)$, jest tutaj zapisane jako funkcja wektora, $\vec x$. Można to zrobić we współrzędnych kartezjańskich:
$$ \psi(\vec x) = \psi(x,y,z)$$
inne współrzędne lub, co jest ogólnie najbardziej przydatne, gdy zachowany jest moment pędu: współrzędne sferyczne. W takim przypadku część kątowa jest przechwytywana w sferycznych harmonicznych, zgodnie z tym standardowym rzutem w piątym równaniu:
$$\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle=\sum _{l,m,s_z}Y_{l,m}(\theta , \phi)u_{s_z}c^{s_z}_{l,m}(r) \ \ \ \ \ \ (1)$$
z tego równania wynika, że orbitalny moment pędu ($(l,m)$) łączą się z każdym stanem spinowym (zgodnie ze zwykłymi zasadami dodawania momentu pędu). Zauważ, że stany własne całkowitych liczb kwantowych momentu pędu ($J^2, J_z$) mieszać różne $(l, m)$ z obrotem w górę i w dół, jak uchwycony przez $c^{\pm}_{lm}$. To są standardowe rzeczy Clebsch-Gordana, np .:
$$|\frac 3 2 \frac 1 2\rangle = \begin{pmatrix} \sqrt{\frac 2 3}Y_{1,0}(\theta, \phi) \\ \sqrt{\frac 1 3}Y_{1,1}(\theta, \phi)\end{pmatrix}$$
A więc reprezentuje splątanie spinu i współrzędnych kątowych tak, że całkowite liczby kwantowe momentu pędu są dobre.
Kiedy widzimy to, powiedzmy, w atomie wodoru, funkcja fali radialnej jest w całości uwzględniana. Twoje ostateczne równanie pozwala jednak na zależność promieniową w$c^{\pm}_{lm}(r)$. Wprowadza to splątanie przestrzenne między spinem a współrzędną przestrzenną w kierunku promieniowym. (Nie przychodzi mi do głowy system bez ręki, w którym to się pojawia ... ponieważ jeśli używasz sferycznych harmonicznych, problem powinien być możliwy do oddzielenia we współrzędnych sferycznych). Niemniej jest to najbardziej ogólna funkcja fali spinorowej we współrzędnych sferycznych.
Dodatek: Zwróć uwagę, że plik $\theta$ i $\phi$ zależność od RHS (1) jest bezpośrednio związana $\vec x$na LHS. Tutaj mam zamiar$\vec r$ dla wektora pozycji 3D, jak $\vec x$ spowoduje zamieszanie:
We współrzędnych kartezjańskich $(x, y, z)$ i podstawa kartezjańska:
$${\bf r} = x{\bf\hat x}+y{\bf\hat y}+z{\bf\hat z} $$
czyli w sferycznych współrzędnych $(r, \theta, \phi)$ i podstawa kartezjańska:
$${\bf r} = r\sin\theta\cos\phi{\bf\hat x}+r\sin\theta\sin\phi{\bf\hat y}+r\cos\theta{\bf\hat z} $$
Teraz można przełączać z kartezjańskim bazowych wektorów sferycznych wektorów bazowych (wektorami bazowymi kuliste są 3 wektory własne obroty wokół osi, są nie sferyczne współrzędnych wektorów bazowych ($\hat r, \hat\theta, \hat\phi)$, a ich zrozumienie jest bardzo pomocne w zrozumieniu operatorów spinu i tensora itp.):
$${\bf r} = r\sin\theta\cos\phi\frac 1 {\sqrt 2}({\bf\hat e^+}+{\bf\hat e^-})+r\sin\theta\sin\phi \frac i {\sqrt 2}({\bf\hat e^+}-{\bf\hat e^-})+r\cos\theta{\bf\hat e^0} $$
które można przestawić:
$${\bf r} = \frac 1 {\sqrt 2}r\sin\theta e^{+i\phi}{\bf\hat e^+}+\frac i {\sqrt 2}r\sin\theta e^{-i\phi} {\bf\hat e^-}+r\cos\theta{\bf\hat e^0} $$
zwróć uwagę, że współczynniki kątowe to $l=1$ harmoniczne sferyczne:
$${\bf r} = r\sqrt{\frac{4\pi} 3}\big[Y_1^1(\theta,\phi){\bf\hat e^+} + Y_1^0(\theta,\phi){\bf\hat e^0} +Y_1^{-1}(\theta,\phi){\bf\hat e^-} \big ]$$
Przyzwyczajenie się do tej formuły może zająć trochę czasu. W przypadku podstawy sferycznej współrzędnymi są harmoniczne sferyczne . To dziwne, jak funkcja może być współrzędną? Cóż, spójrz$Y_1^0(\theta,\phi)$. Na sferze jednostkowej, to jest $z$. Dobrze$z$ jest funkcją (jest wielomianem) i tak jest $x$ i $y$. Dlatego używamy współczynników wielomianu w prostym rep kartezjańskim, po prostu zwykle nie myślimy o nich jako o takich, myślimy o nich jako o liczbach etykietowanych.