Przeciwieństwo rozkładu Delta delta

Nov 30 2020

Wielowymiarowy rozkład delta Diraca można - mniej lub bardziej intuicyjnie - wyrazić jako

\begin{align} \delta(\mathbf x) = \begin{cases} \lim\limits_{a\rightarrow0} \quad \dfrac{1}{a^n} & \forall x_i \in [-\frac a2,\frac a2], 1\le i\le n \\[6pt] \quad 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}

gdzie

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\mathbf x) \text{ d}\mathbf x = 1 $$

Czy istnieje „przeciwieństwo” tego, które można wyrazić jako

\begin{align} \epsilon(\mathbf x) = \begin{cases} \lim\limits_{a\rightarrow\infty} \quad \dfrac{1}{a^n} & \forall x_i \in [-\frac a2,\frac a2], 1\le i\le n \\[6pt] \quad 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}

gdzie też

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(\mathbf x) \text{ d}\mathbf x = 1 $$

?

Czy istnieje nazwa tej dystrybucji i / lub symbol?

Dla kontekstu: planuję użyć ich w zwojach i traktuję je jako gęstości prawdopodobieństwa.

Odpowiedzi

2 reuns Nov 30 2020 at 03:44

Obie granice $$\lim_{a\to 0} a^{-n} 1_{x\in [-a/2,a/2]^n}, \qquad \lim_{a\to \infty} a^{-n} 1_{x\in [-a/2,a/2]^n}$$są doskonale rygorystycznymi definicjami dystrybucji, pierwsza z nich jest zbieżna w sensie dystrybucji do$\delta$ a drugi do $0$.