Puzzle przesuwne 3 x 2

Jan 30 2021

Czy byłoby możliwe rozwiązanie takiej przesuwanej łamigłówki (x to spacja) ?:

1  3  2

4  5  x

Nie udało mi się tego rozwiązać i nawet nie wiem, czy to możliwe.

Odpowiedzi

8 Randal'Thor Jan 30 2021 at 02:42

Rozwiązanie:

nie, nie ma możliwości przejścia z pozycji, którą podałeś, do „rozwiązanej” łamigłówki $1,2,3,4,5$w odpowiedniej kolejności i odstęp w prawym dolnym rogu. Można to udowodnić w taki sam sposób, jak oryginalna (słynna) " układanka 14,15 ".

Można to wykazać, posługując się podstawową teorią grup, podobną do przedstawionego tutaj dowodu .

Każda pozycja układanki może być interpretowana jako permutacja $\{1,2,3,4,5,6\}$, z pustym kwadratem interpretowanym jako $6$. Każdy ruch puzzli można następnie zinterpretować jako transpozycję w grupie symetrycznej$S_6$, zamieniając pusty kwadrat $6$z jedną z rzeczywistych płytek. Podana pozycja jest oddalona o jedną transpozycję od rozwiązanej pozycji, ale można ją było osiągnąć tylko w parzystej liczbie$6$-swaps, od tego pustego kwadratu $6$musi skończyć w tej samej pozycji, więc musiała mieć parzystą liczbę ruchów góra-dół i parzystą liczbę ruchów lewo-prawo. Ale każda kombinacja parzystej liczby transpozycji musi znajdować się w grupie naprzemiennej$A_6$i dlatego nie możemy osiągnąć pojedynczej transpozycji za pomocą takiej kombinacji.

6 Deusovi Jan 30 2021 at 02:41

Jeśli Twoim celem jest uzyskanie „1 2 3” w pierwszym rzędzie i „4 5 x” w drugim, odpowiedź brzmi „ nie” , nie jest to możliwe.

To jest mniejsza wersja układanki 14-15 Sama Loyda . Jeśli masz przesuwaną łamigłówkę z pojedynczym pustym miejscem, możesz sprawdzić, czy można ją rozwiązać w oparciu o parzystość - liczbę przełączników potrzebnych, aby dostać się do rozwiązania. Konkretnie:

  • Najpierw wykonaj ruchy, aby pusta płytka znalazła się we właściwym miejscu.
  • Teraz wyobraź sobie, że możesz w magiczny sposób wybrać dwa kafelki, aby zamienić się miejscami. Ile wymian potrzeba, aby rozwiązać zagadkę?

Jeśli liczba zamiany jest parzysta, oryginalną łamigłówkę można rozwiązać. Jeśli liczba zamiany jest nieparzysta, oryginalnej łamigłówki nie można rozwiązać. (Innymi słowy, zaczynając od rozwiązanej łamigłówki, bez względu na to, jakie ruchy wykonasz, zawsze będziesz w równym przypadku - nie ma sposobu, aby przeskoczyć między dwoma przypadkami po prostu przesuwając kafelki. układa się płytek.)

W twoim przykładzie do rozwiązania zagadki potrzebna jest dokładnie jedna zamiana. Nie można więc rozwiązać przez przesuwanie.