Pytanie o nierówności ułamkowe

Question

$a,b$są dodatnimi liczbami całkowitymi. Pozwolić$\frac{a}{b}$ być ułamkiem z najmniejszym możliwym mianownikiem $b$ takie że $\frac{386}{2019}$ < $\frac{a}{b}$ < $\frac{35}{183}$. Określ wartość$a+b$.

---

Próbowałem uprościć nierówność, ale utknąłem. Jednak wiem, że jako$b$ musi być najmniejszy, tak samo $a$.

Masz jakiś pomysł, jak mam zrobić to pytanie? Dzięki za wszelką pomoc.

Answer 1

Może poniższe wskazówki pomogą.

Mamy $$386b+1\leq2019a$$ i $$35b\geq183a+1.$$ Możemy rozwiązać równanie $35b=183a+1,$ co daje $$(a,b)=(13+35k,68+183k),$$ gdzie $k\geq0$ jest liczbą całkowitą, która daje ułamek $\frac{13}{68}.$

Łatwo to zobaczyć $\frac{13}{68}$ nie jest poprawny.

Teraz możemy wziąć $k=1$, $k=2$, ...

Możemy również rozwiązać równanie $386b+1=2019a,$ co daje $$(a,b)=(373+386k,1951+2019k),$$ gdzie $k\geq0$ jest liczbą całkowitą.

Łatwo to zobaczyć $\frac{373}{1951}$ jest ważny.

Mam to w pierwszym przypadku $k=1$ jest ważny, co daje $\frac{48}{251}.$

Answer 2

Ułamka z$386/2019$ jest $[0; 5, 4, 2, 1, 29]$.

Ułamka z$35/183$ jest $[0; 5, 4, 2, 1, 2]$.

Tak więc najprostszy ułamek, który znajduje się ściśle między tymi liczbami, to ułamek ciągły $$[0; 5, 4, 2, 1, 3]=\dfrac{48}{251}$$