Pytanie o pochodne ułamkowe
Nie wiem praktycznie nic o rachunku ułamkowym, więc z góry przepraszam, jeśli poniższe pytanie jest głupie. Próbowałem już na math.stackexchange.
Chciałem tylko zapytać, czy istnieje pojęcie pochodnej ułamkowej, które jest liniowe i spełnia następującą właściwość $D^u((f)^n) = \alpha D^u(f)f^{(n-1)}$ gdzie $\alpha$jest skalarem. W przypadku standardowych instrumentów pochodnych mielibyśmy$\alpha = n$.
Dziękuję Ci bardzo.
Odpowiedzi
W zasadzie nie ma interesujących rozwiązań tego równania poza operatorami pierwszego i zerowego rzędu, nawet jeśli tylko narzuca się podane ograniczenie dla $n=2$.
Po pierwsze, możemy zdepolaryzować hipotezę$$ D^u(f^2) = \alpha_2 D^u(f) f \quad (1)$$ zastępując $f$ z $f+g, f-g$ do dowolnych funkcji $f,g$ i odejmowanie (a następnie dzielenie przez $4$), aby uzyskać bardziej elastyczną tożsamość typu Leibniza $$ D^u(fg) = \frac{\alpha_2}{2}( D^u(f) g + f D^u(g) ). \quad (2)$$
Obecnie istnieją trzy przypadki, w zależności od wartości $\alpha_2$:
- $\alpha_2 \neq 1,2$. Nakładanie (2) za pomocą$f=g=1$ następnie dochodzimy do wniosku $D^u(1)=0$, a następnie ponownie zastosuj (2) z just $g=1$ dostajemy $D^u(f)=0$. Mamy więc trywialne rozwiązanie$D^u=0$ w tym przypadku.
- $\alpha_2=2$. Następnie$D^u$jest pochodną i przez indukcję mamy$D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1}$, tak jak w przypadku zwykłej pochodnej, więc po prostu mamy $\alpha_n=n$ dla wszystkich $n$ bez zachowania ułamkowego.
- $\alpha_2=1$. Nakładanie (2) za pomocą$g=1$ otrzymujemy (po odrobinie algebry) $D^u(f) = mf$ gdzie $m := D^u(1)$. A zatem$D^u$ jest po prostu operatorem mnożnika, który jest posłuszny $D^u(f^n) = D^u(f) f^{n-1}$, więc $\alpha_n=1$ dla wszystkich $n$.
Dlatego nie ma innych liniowych rozwiązań twojego równania niż zwykłe wyprowadzenia (np. $D^u(f) = a(x) \frac{d}{dx} f$ dla dowolnego gładkiego symbolu $a$) i mnożniki $D^u(f) = mf$, tj. operatory pierwszego i zerowego rzędu.
Z drugiej strony ułamkowe pochodne $D^u$ mają tendencję do przestrzegania „ułamkowej reguły łańcucha” $$ D^u( F(f) ) = D^u(f) F'(f) + E$$ dla różnych płynnych funkcji $F,f$, gdzie błąd $E$spełnia lepsze szacunki w różnych przestrzeniach Sobolewa niż pozostałe dwa wyrazy w tym równaniu. W szczególności dla$F(t) = t^n$, byśmy mieli $$ D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1} + E$$ dla „dobrego” terminu błędu $E$. Na przykład biorąc$u=n=2$ z $D$ mamy zwykłą pochodną $$ D^2(f^2) = 2 D^2(f) f + E \quad (3)$$ z $E$operator „ carré du champ ”$$ E := 2 (Df)^2.$$ Zwróć uwagę, że błąd $E$ jest kontrolowany jednolicie przez $C^1$ norma $f$ale pozostałe dwa wyrazy w (3) nie są. Zobacz moją poprzednią odpowiedź MathOverflow pod adresemhttps://mathoverflow.net/a/94039/766 dla niektórych odniesień i dalszej dyskusji.
Wygląda na to, że naprawdę chcesz $D^u(f^n)=\alpha f^{n-1} D^u f$, gdzie $\alpha$ jest skalarem.
Nie ma powodu, aby to było prawdą, i rzeczywiście jest to ogólnie fałszywe. Np. Dla$n=2$i Riemanna - cząstkowej pochodnej Liouville z$f:=\exp$ z $u=1/2$, $a=0$, i $x>0$ mamy $$f(x)^{n-1}(D^uf)(x)=e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{e^x}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ natomiast $$(D^u(f^n))(x)=\sqrt{2} e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)+\frac{1}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ po to aby $$\frac{D^u(f^n)}{f^{n-1}\,D^uf}$$ jest zupełnie inny niż wszystkie stałe.
Ponadto termin $\text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)$ w wyrażeniu dla $(D^u(f^n))(x)$ tutaj w porównaniu z terminem $\text{erf}\left(\sqrt{x}\right)$ w wyrażeniu dla $f(x)^{n-1}(D^uf)(x)$ wydaje się, że jest bardzo mało prawdopodobne, aby jakikolwiek inny rodzaj pochodnej ułamkowej działał tak, jak chcesz.
Uogólniona formuła Leibniza mająca zastosowanie do klasycznej ułamkowej liczby całkowej to
$$ D^{\omega}\; f(x)g(x) = \sum_{n \geq 0} \binom{\omega}{n} [D^{\omega-n}f(x)]D^ng(x)=(D_L+D_R)^{\omega} g(x)f(x),$$
gdzie $D_L$ działa na funkcję po lewej stronie produktu i $D_R$na właściwej funkcji. Zobacz np. Reguły Leibniza i całkowe analogi dla pochodnych ułamkowych za pomocą nowego wzoru transformacji autorstwa Fugere'a, Gaboury'ego i Tremblaya.
Ta uogólniona reguła Leibniza odnosi się do ułamkowej liczby całkowej, spełniającej sensowne aksjomaty podane przez Pincherle'a, opisane w „The Role of Salvatore Pincherle in the Development of Fractional Calculus” Francesco Mainardiego i Gianniego Pagniniego - tych, które są spełnione przez zwykłą pochodną podniesioną do całkowitych potęg, negatywne lub pozytywne. Powtórzenia tej operacji są przedstawione w tym MSE-Q i mogą być użyte do zdefiniowania konfluentu (patrz MO-Q ) i regularnych funkcji hipergeometrycznych.
Te powtórzenia $D^{\omega}$leżą u podstaw definicji funkcji gamma i beta Eulera poprzez całki, uogólnienia całkowych silni i całkowych współczynników dwumianowych (zobacz moją odpowiedź / odniesienie w tym MO-Q ), których większość badaczy często używa w swoich zadaniach matematycznych- -w przeciwieństwie do niektórych opinii wyrażanych na temat MO. Zobacz przykład pół-pochodnej w tym MO-Q (który wielu użytkowników najwyraźniej myli z jakimś pseudo-różniczkowym operatorem zdefiniowanym przez transformatę Fouriera).