Pytanie o przestrzeń metryczną zdefiniowaną w $\mathbb{Q}$.
Rozważać $\mathbb{Q}$być zbiorem wszystkich liczb wymiernych. Zdefiniowane$d(p,q)=|p-q| $. Zatem które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe?
$\{q \in \mathbb{Q} : 2<q^2<3\}$ zamknięte.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ zamknięte.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ jest kompaktowy.
$\{q \in \mathbb{Q} : q^2 \geq 1\}$ jest kompaktowy.
Tak więc myślałem o tym, gdzie opcja 4. nie jest prawdziwa, ponieważ nie jest ograniczona. Zatem brak zwartości wynika z bezgraniczności. Więc jeśli możemy pokazać, że tutaj zbiór w 4. I myślę, że nr 1. jest zamknięty, ponieważ jest dopełnieniem$\mathbb{Q}$ związek trochę otwarty $\mathbb{R}$.
W przypadku drugiego stwierdzenia możemy zastosować ogólne kryterium, że „Przestrzeń metryczna jest zwarta, jeśli jest kompletna i całkowicie ograniczona”. Ale potrzebuję pomocy, żeby to zrobić.
Odpowiedzi
Możemy zapisać 1. jako $\left((\sqrt{2}, \sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, -\sqrt{2})\right) \cap \mathbb{Q}$ który jest prawdziwym zbiorem otwartym (otwarte przedziały są otwarte) przecina się z $\Bbb Q$, więc ten zestaw jest otwarty w $\Bbb Q$. Jest również zamknięty$\Bbb Q$ ponieważ możemy to również zapisać jako $\left([\sqrt{2}, \sqrt{3}] \cup [-\sqrt{3}, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$, który jest zamknięty z podobnych powodów.
2 jest zamknięte, ponieważ możemy to zapisać jako $\left([\sqrt{2}, 2] \cup [-2, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$ i jako jej element $2$nie jest punktem wewnętrznym nim, to nie otworzy.
Zestaw poniżej 3 jest taki sam jak poniżej 2, więc jest rzeczywiście zamknięty, jak widzieliśmy, więc może być zwarty, ponieważ jest również ograniczony. Ale w rzeczywistości tak nie jest, ponieważ możemy wybrać dowolny irracjonalny$p$ „w” zestawie (np $\sqrt{3}$ zrobi) i znajdź sekwencję racjonalnych $q_n$ w zestawie, do którego się zbliża $p$ w rzeczywistości (zawsze można to zrobić). Ale potem sekwencja$(q_n)_n$ jest Cauchy'm (w końcu jest zbieżny w liczbach rzeczywistych), ale nie w $\Bbb Q$(jako jedyny punkt, do którego może się zbiegać, nie leży w zestawie). Zestaw nie jest więc zwarty. Głębszym powodem, dla którego nie jest zwarty (czego prawdopodobnie jeszcze nie omówiłeś) jest to, że zwarty policzalny zestaw w przestrzeni metrycznej musi mieć izolowany punkt, a ten zestaw nie ma żadnego. Ale niekompletność (lub związany z tym fakt, że mamy ciąg bez zbieżnego podciągu) można wykorzystać do obalenia zwartości na bardziej elementarnym poziomie.
W przypadku 4 we wszystkich przestrzeniach metrycznych wiemy, że „$A$ kompaktowy $\implies$ $A$zamknięte i ograniczone; Heine-Borel jest odwrotną implikacją, która zachodzi w podzbiorach$\Bbb R^n$w metryce euklidesowej. Jego „siłą” jest szybkie udowodnienie zwartości. Ale zawsze poprawna implikacja może być użyta do łatwego obalenia zwartości, a 4 jest przykładem: nieograniczona, więc nie-zwarta jest prawidłową dedukcją w dowolnej przestrzeni metrycznej.
Zbiór $A$ w przestrzeni metrycznej jest zwarta w każdej sekwencji w $A$ ma zbieżny podciąg, do którego należy granica $A$. Sekwencja$\{1,2,3,..\}$ jest ciągiem w danym zbiorze, który nie ma zbieżnego podciągu, więc zbiór w 4) nie jest zwarty.
Alternatywnie możesz to wykorzystać $\{q \in \mathbb Q: -n <q <n\}, n=1,2...$ jest otwartą okładką zestawu bez skończonej okładki dodatkowej.