Pytanie o udowodnienie rozszerzonego twierdzenia Fermata o sumach dwóch kwadratów
Pozwolić $m$być nieparzystą liczbą całkowitą dodatnią. Pokazują, że$m$ można zapisać jako sumę dwóch kwadratów $m = a^2 + b^2$ z $\gcd(a,b) = 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy czynnik pierwszy $m$ jest przystające do $1 (\text{mod}~4)$.
$\mathbf{My~Attempts:}$
Zauważ, że jeśli $m$jest nieparzystą liczbą pierwszą, to twierdzenie jest zgodne z twierdzeniem Fermata o sumach dwóch kwadratów.
Więc pozwól$m$ być złożoną nieparzystą liczbą całkowitą dodatnią.
Najpierw udowodnij, czy każdy czynnik pierwszy $m$ jest przystające do $1~(\text{mod}\ 4)$ następnie $m = a^2 + b^2$ z $\gcd(a,b) = 1$.
Załóżmy, że każdy czynnik pierwszy$m$ jest przystające do $1~(\text{mod}\ 4)$
Pozwolić $m = p_1 p_2 \cdots p_n$ być głównym faktoryzacją $m$ i każdy $p_i$są dziwne.
Następnie, z założenia, każdy$p_i \equiv 1 ~(\text{mod}~4)$ które zgodnie z twierdzeniem Fermata o sumach dwóch kwadratów, $p_i = a_i^2 + b_i^2$ dla niektórych $a_i, b_i \in \mathbb{N}$.
Więc,$m = (a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2) \cdots (a_n^2 + b_n^2) = [(a_1 a_2 + b_1 b_2)^2 + (b_1 a_2 - a_1 b_2)^2](a_3^2 + b_3^2) \cdots (a_n^2 + b_n^2)$.
Pozwolić$x_1 = (a_1 a_2 + b_1 b_2)$ i $y_1 = (b_1 a_2 - a_1 b_2)$.
Potem będzie$m = (x_1^2 + y_1^2)(a_3^2 + b_3^2) \cdots (a_n^2 + b_n^2)$.
Teraz powtórz ten proces$n-2$ razy i niech każdy $x_i = (x_{i-1} a_{i+1} + y_{i-1} b_{i+1})$ i niech każdy $y_i = (y_{i-1} a_{i+1} - x_{i-1} b_{i+1})$.
Wtedy będziemy mieć$m = (x_{n-1}^2 + y_{n-1}^2)$ gdzie $x_{n-1} = (x_{n-2} a_n + y_{n-2} b_n)$ i $y_{n-1} = (y_{n-2} a_n - x_{n-2} b_n)$.
Gdzie$x_{n-1}$ i $y_{n-1}$są dodatnimi liczbami całkowitymi.
Pozwolić$a = x_{n-1}$ i $b = y_{n-1}$.
Więc to udowodniliśmy$m$ można zapisać jako sumę dwóch kwadratów $m = a^2 + b^2$.
$\mathbf{Problems:}$
Teraz utknąłem na tym, jak to udowodnić $\gcd(a,b) = 1$w tym przypadku !! Nie wiem też, jak udowodnić odwrotność stwierdzenia gdzie, jeśli$m = a^2 + b^2$ z $\gcd(a,b) = 1$ wtedy każdy pierwszy czynnik $m$ jest przystające do $1~(\text{mod}~4)$ !
Odpowiedzi
Oto nieco inne podejście. Po pierwsze, podobnie do tego, co zrobiłeś, część „jeśli” oznacza każdy czynnik pierwszy$m$ jest przystające do $1 \pmod{4}$. Jak pokazano w odpowiedzi na Suma dwóch kwadratów i czynniki pierwsze , twierdzenie Fermata o sumie kwadratów stwierdza, że każdy czynnik pierwszy$p_i$ z $m$można zapisać jako sumę kwadratów. Również dla każdego$c, d, e, f \in \mathbb{R}$,
$$(c^2 + d^2)(e^2 + f^2) = (ce \pm df)^2 + (cf \mp de)^2 \tag{1}\label{eq1A}$$
pokazuje kiedykolwiek $2$ liczby można zapisać jako sumę kwadratów, ich iloczyn może być również w $2$różne sposoby. Użycie \ eqref {eq1A} wielokrotnie z poprzednim wynikiem (zaczynając od$1$) i dla każdego $p_i \mid m$ oznacza produkt końcowy, tj. $m$, można zapisać jako sumę kwadratów.
Jeśli chodzi o udowodnienie, możesz wybrać $a$ i $b$ gdzie $\gcd(a, b)$, odpowiedź na Dowolny iloczyn liczb pierwszych w postaci 4n + 1 jest sumą 2 względnie pierwszych kwadratów , parafrazując to poniżej.
Jak pokazano w \ eqref {eq1A}, iloczyn funkcji $2$ sumy kwadratów można wyrazić w $2$sposoby. Mieć$c^2 + d^2$, z $\gcd(c, d) = 1$być produktem $1$ lub więcej liczb pierwszych postaci $4n + 1$, i $e^2 + f^2$być liczbą pierwszą tej formy do pomnożenia. Zastanów się, czy pierwsza postać w \ eqref {eq1A}, tj.$(ce + df)^2 + (cf - de)^2$, jest niepoprawne, tj. istnieje liczba pierwsza $q$który dzieli każdy termin. To znaczy
$$q \mid (ce + df)e + (cf - de)f = c(e^2 + f^2) \tag{2}\label{eq2A}$$
$$q \mid (ce + df)f - (cf - de)e = d(e^2 + f^2) \tag{3}\label{eq3A}$$
Od $q$ nie dzieli $c$ i $d$, następnie $q \mid e^2 + f^2 \implies q = e^2 + f^2$. Jeśli oba typy rozwiązań w \ eqref {eq1A} są nieprawidłowe, to$e^2 + f^2$ dzieli $ce - df$ jak również $ce + df$i stąd dzieli $2ce$ i $2df$. Od$e^2 + f^2$ nie dzieli $2e$ lub $2f$, musi podzielić oba $c$ i $d$, wbrew hipotezie, oznacza co najmniej jeden z $2$formularze muszą być ważne. Dlatego użyj prawidłowej formy i powtórz tę procedurę dla każdej mnożonej liczby pierwszej, aby ostatecznie uzyskać$m$.
Dla „tylko wtedy, gdy” część, podobnie jak odpowiedź do If$a \in \Bbb Z$ jest więc sumą dwóch kwadratów $a$nie można zapisać w której z poniższych form? , przypuśćmy, że jest liczba pierwsza$p \equiv 3 \pmod{4}$ z $p \mid m$. Gdyby$p \mid a$, następnie $p \mid b$i odwrotnie, ale od tego czasu $\gcd(a, b) = 1$, następnie $p$ też nie można podzielić $a$ lub $b$. A zatem,$a$ ma multiplikatywną odwrotność, nazwij to $a'$, modulo $p$. Pozwolić$r = \frac{p-1}{2}$ i uwaga $r$to jest dziwne. Daje to również małe twierdzenie Fermata (zwróć uwagę, że poniższy argument jest w zasadzie równoważny z pokazaniem$-1$nie jest kwadratową resztą modulo$p$ gdyby $p \equiv 3 \pmod{4}$)
$$\begin{equation}\begin{aligned} a^2 + b^2 & \equiv 0 \pmod{p} \\ a^2(a')^2 + b^2(a')^2 & \equiv 0 \pmod{p} \\ 1 + (ba')^2 & \equiv 0 \pmod{p} \\ (ba')^2 & \equiv -1 \pmod{p} \\ \left((ba')^2\right)^{r} & \equiv (-1)^r \pmod{p} \\ (ba')^{p-1} & \equiv -1 \pmod{p} \\ 1 & \equiv -1 \pmod{p} \end{aligned}\end{equation}\tag{4}\label{eq4A}$$
To oczywiście nie jest możliwe, co oznacza, że pierwotne założenie musi być fałszywe. Potwierdza to wszystkie czynniki pierwsze$m$ musi być przystające do $1 \pmod{4}$.