Ranga skończonej grupy i jej reprezentacje
$\DeclareMathOperator\Rep{Rep}\DeclareMathOperator\rank{rank}$Pozwolić $G$ być skończoną grupą, i $C=\Rep(G)$ być monoidalną kategorią złożonych reprezentacji skończonych wymiarów $G$. Tak jak$C$ jest skończona i półprosta, z której można uzyskać wszystkie reprezentacje $\oplus$ i skończony zbiór $I$nieredukowalnych reprezentacji. Zgodnie z klasyczną teorią charakteru istnieje (niekanoniczny) bijekcja$I$ i $\mathrm{Conj}(G)$. W tym wątku mam nadzieję zrozumieć ewentualne uprzedzenia między obiema stronami, biorąc pod uwagę kwestie$\otimes$.
Aby być bardziej precyzyjnym, niech $V$ być nieredukowalną, wierną reprezentacją $G$. Wtedy każda reprezentacja występuje jako podmoduł$V^{\otimes n}$ dla niektórych $n$(por. to i to ) i na odwrót! Następnie to mówimy$V$ sama generuje $C$ pod $\otimes$i zakończenie Cauchy'ego. Jednak nie każda grupa ma nieredukowalną wierną reprezentację. W tym samym poście widzimy, że w dużej mierze dotyczy to „rangi” cokołu$G$.
Podsumowując, określ rangę, $\rank(G)$jako minimalną liczbę elementów potrzebnych do wygenerowania $\mathrm{socle}(G)$pod koniugacją. Określ rangę,$\rank(C)$jako minimalną liczbę nieredukowalnych elementów potrzebnych do wygenerowania $C$ pod $\otimes$i zakończenie Cauchy'ego. Następnie
$$ \rank(G) = 1 \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = 1 $$
Pytanie
Czy ta równoważność uogólnia się na
$$ \rank(G) = n \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = n, $$
dla każdej liczby naturalnej $n$?
( EDYTUJ Jak wskazał Qiaochu w komentarzu, jest to prawdą dla skończonych grup abelowych według dualności Pontrjagina).
Odpowiedzi
Odpowiedź na twoje pytanie brzmi tak i jest głównym twierdzeniem artykułu Žmudʹ, È. M. O izomorficznych liniowych reprezentacjach skończonych grup. Mata. Sb. NS 38 (80) (1956), 417–430.
Można go znaleźć w Twierdzeniu 5 na stronie 245 Znaków grup skończonych. Część 1. autorstwa Berkovicha i Žmudʹ. Twierdzenie jest sformułowane w inny, ale równoważny sposób, i jest udowodnione w bardzo podobny sposób do twierdzenia Gaschutza.
Mówi o tym twierdzenie Žmudʹ $G$ ma wierną reprezentację z $k$ nieredukowalne składniki wtedy i tylko wtedy, gdy podstawa $G$ może być wygenerowany co najwyżej jako normalna podgrupa $k$elementy. W szczególności najmniejsza liczba normalnych generatorów$\mathrm{socle}(G)$ pokrywa się z najmniejszą liczbą nieredukowalnych składników w jakiejś wiernej reprezentacji $G$.
Teraz wystarczy obserwować $\mathrm{rank}(C)$ jest dokładnie minimalną liczbą nieredukowalnych składników w wiernej reprezentacji $G$. Rzeczywiście, jeśli$V$ jest jakąkolwiek wierną reprezentacją, to twierdzenie Burnside'a (lub uogólnienie R. Steinberga) pokazuje, że każdy nieredukowalny moduł jest bezpośrednim sumą w potędze tensorowej $V$ a więc nieredukowalne składniki $V$ Generować $C$pod iloczynem tensorowym, sumy bezpośrednie i bezpośrednie sumy. Z drugiej strony, jeśli$\rho_1,\ldots, \rho_k$ są więc nieredukowalnymi reprezentacjami, których bezpośrednia suma nie jest wierna $\ker \rho_1\cap\dots\cap \ker \rho_k$ działa jako tożsamość na wszystkich modułach w podkategorii generowanych przez odpowiadające im proste moduły w ramach operacji sumy bezpośredniej, iloczynu tensorowego i biorąc bezpośrednie sumy, więc te nieredukowalne reprezentacje nie mogą generować $C$.
A zatem $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(C)$