Równoważność między dwiema definicjami kategorii mającej obiekty wykładnicze
O kategorii z produktami mówi się, że mają wykładniki, jeśli dotyczą wszystkich obiektów$x, y$ istnieje przedmiot $y^x$ wyposażony w strzałkę $e\colon x\times y^x\to y$ takie, że dla wszystkich obiektów $z$ i wszystkie strzały $f\colon x\times z\to y$ jest unikalna strzała $\bar{f}\colon z\to y^x$ dogadzający $e\circ (id_x\times\bar{f})=f$.
Widzę, że jeśli kategoria ma wykładniki, to $f\mapsto \bar{f}$ jest naturalnym izomorfizmem pomiędzy $hom(x\times z, y)$ i $hom(z, y^x)$ z odwrotnością $\bar{f}\mapsto id_x\times\bar{f}$. Stąd funktor$x\times (-)$ pozostaje połączony z $(-)^x$.
Zastanawiam się odwrotnie: jeśli $C$ to kategoria z takimi produktami $x\times (-)$ ma właściwe sprzężenie, czy wynika z tego $C$ ma wykładniki?
W szczególności, jeśli tylko to założymy $x\times (-)$ ma odpowiednie sprzężenie, jak się wyposażamy $y^x$ ze strzałką $e\colon x\times y^x\to y$. Ponadto, jak wydedukować, że równanie$e\circ (id_x\times\bar{f})=f$ trzyma dokładnie?
W jakiś sposób istnienie odpowiedniego łącznika $x\times (-)$ wydaje się słabszy i bardziej abstrakcyjny niż uniwersalna definicja właściwości kategorii mającej wykładniki podane powyżej.
Odpowiedzi
Przypuszczam, że aby wybrać obiekt, potrzebny jest AC $y^x$ dla każdego $x$ i $y$.
Akceptując to, dostaje się strzałę $e$z formalizmu jednostek / samorządów w uzupełnieniach. Jeśli$F$ jest właściwym łącznikiem $x\times(-)$ wtedy naturalnie, $$\text{hom}(a,Fy)\cong\text{hom}(x\times a,y).$$ Brać $a=Fy$. Następnie$$\text{hom}(Fy,Fy)\cong\text{hom}(x\times Fy,y).$$ Tożsamość po lewej stronie odpowiada homomorfizmowi $e:x\times Fy\to y$po prawej. Oznaczamy$Fy$ tak jak $y^x$, i to $e:x\times y^x\to y$ to mapa wykładnicza.