Rozwiązać $(x-a)^{\alpha +1} - \lambda*(b-x)^{\alpha + 1} = C(\frac{a+b}2 - x)^{\alpha}$ nad $\mathbb R$ [Zamknięte]

Question

Mam problem z rozwiązaniem następującego równania. Każda pomoc będzie mile widziana. Niech a, b, C,$\alpha$,$\lambda$ być liczbami rzeczywistymi z $C < 0$, $0 < \alpha < 1$, $\lambda > 1$. Następnie szukamy rozwiązania równania \ begin {equation} (xa) ^ {\ alpha +1} - \ lambda * (bx) ^ {\ alpha + 1} = C * (\ frac {a + b} { 2} - x) ^ {\ alpha}. \ end {equation} Zmienną jest$x$ i szukamy realnych rozwiązań w zakresie $0 \leq x \leq (a+b)/2$.

Answer 1

po zdefiniowaniu $y=[(a+b)/2-x]/\Delta$, $\Delta=(b-a)/2>0$, $k=C/\Delta<0$możesz wyeliminować kilka wolnych parametrów, pozostawiając $$(1-y)^{\alpha+1}-\lambda (1+y)^{\alpha+1}-k y^\alpha=0,\;\;0\leq y\leq 1.$$

Ogólnie $\alpha\in(0,1)$ nie ma rozwiązania w formie zamkniętej i może w ogóle nie być rzeczywistego rozwiązania w tym przedziale $[0,1]$.

W szczególności, jeśli $\alpha\rightarrow 1$rozwiązanie zwykle $y\rightarrow (1+k/2)\pm\sqrt{k}\sqrt{4+k}$, który jest wyimaginowany $-4<k<0$.

Z drugiej strony, jeśli $\alpha\rightarrow 0$rozwiązanie zwykle $y\rightarrow \frac{1-k-\lambda}{1+\lambda}$ co jest negatywne dla $\lambda>1-k$.

Mówiąc bardziej ogólnie, dla każdego $\alpha$ nie będzie rozwiązania dla wystarczająco dużych $\lambda$.

---

Aktualizacja: PO ponownie opublikował pytanie z dodatkowym ograniczeniem, jakim jest$k=-2\lambda(\alpha+1)$, więc szukamy rozwiązania $$(1-y)^{\alpha + 1}-\lambda (y+1)^{\alpha + 1} + 2 \lambda (\alpha + 1) y^{\alpha} = 0.$$ Dla $\alpha\ll 1$ rozwiązaniem jest $$y= \left(\frac{\lambda-1}{2 \lambda(\alpha+1)}\right)^{1/\alpha}.$$