Rzeczywista funkcja, która ma w pewnym punkcie szereg Taylora o zerowym promieniu zbieżności [duplikat]

Dec 01 2020

Czy istnieje przykład funkcji o wartościach rzeczywistych? $f$ zdefiniowane w otwartym przedziale $I$(prawdopodobnie rzeczywista linia), która spełnia następującą właściwość?

Tam jest $a\in I$ takie, że rozszerzenie serii Taylora $f$ względem $a$ma zerowy promień zbieżności. (Funkcja nie musi być równa swojemu szeregowi Taylora w pewnym przedziale, wystarczy pomyśleć o promieniu zbieżności samego szeregu Taylora).

Odpowiedzi

1 ParclyTaxel Dec 01 2020 at 16:17

Zgodnie z twierdzeniem Borela każda sekwencja liczb rzeczywistych może być współczynnikiem szeregu Taylora jakiejś funkcji. Jeśli współczynniki mają być jakąś wystarczająco szybko rosnącą funkcją, szereg Taylora rozbiega się przy wszystkich niezerowych wartościach.