Są $K(\pi_1,1)$ ekwiwalent stycznej homotopii?

Question

Czy wiadomo, czy jakieś dwa gładkie, zwarte kolektory $X \simeq K(\pi_1,1) \simeq Y$ są ekwiwalentami stycznej homotopii, tj. wycofaniem wiązki stycznej $Y$ wzdłuż gładkiej równoważności homotopii $X \rightarrow Y$ jest izomorficzny ze styczną wiązką $X$? Podejrzewam, że może to być trudne, nie wydaje się silniejsze ani słabsze niż hipoteza Borela, ponieważ nawet gdyby hipoteza Borela była prawdziwa, moglibyśmy mieć wiele gładkich struktur, które nie są równoważne stycznie homotopii.

Answer 1

Myślę, że odpowiedź brzmi nie : istnieje para asferycznych, zamkniętych, gładkich rozmaitości, które są równoważne homotopii, ale nie są równoważne stycznej homotopii.

Roszczenie: Niech $X$ być gładkim, zamkniętym zorientowanym 9-kolektorowym takim, że $p_2(TX) = 0 \in H^8(X;\mathbb{Z}) = H_1(X;\mathbb{Z})$. Dla każdego$v \in H_1(X;\mathbb{Z})$ z $7 v = 0$istnieje gładka rozmaitość $Y$ i homeomorfizm PL $f: X \to Y$, takie że $f^*(p_2(TY)) = v$.

Gdyby $v \neq 0$, wtedy nie może być stycznej równoważności homotopii $X \to Y$, ponieważ musiałoby to zająć $p_2(TY) \neq 0$ do $p_2(TX) = 0$. Aby uzyskać konkretny przykład, możemy wziąć$X$ być produktem $(S^1)^6$ i zamknięty asferyczny kolektor trójdzielny z nietrywialnym 7-skrętnym w $H_1$. Jeszcze bardziej konkretnie, 3-rozmaitość można przyjąć jako torus odwzorowujący dyfeomorfizm$S^1 \times S^1$ odpowiadające macierzy $\begin{bmatrix}1 & 7\\0 & 1\end{bmatrix}.$

Dowód roszczenia: 7-torsion in $H^8(X;\mathbb{Z})$ zgadza się z 7-skrętną w $H^8(X;\mathbb{Z}_{(7)})$i wystarczy to zobaczyć, wygładzając teorię $(0,v)$ jest obrazem homomorfizmu $$[X,PL/O] \to [X,BO] \xrightarrow{(p_1,p_2)} H^4(X;\mathbb{Z}_{(7)}) \times H^8(X;\mathbb{Z}_{(7)}).$$ Ale druga mapa uwzględnia izomorfizm z $[X,BO] \otimes \mathbb{Z}_{(7)}$iw tej dziedzinie możemy zatem wziąć pod uwagę $[X,PL/O] \otimes \mathbb{Z}_{(7)}$. Ale według obliczeń Kervaire-Milnora dla egzotycznych sfer istnieje mapa$PL/O \to K(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z},7)$ indukując izomorfizm grup homotopii w dużym zakresie (daleko poza $9 = \dim(X)$) po naprężeniu za pomocą $\mathbb{Z}_{(7)}$. Ponadto mapa łącząca$$H^7(X;\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}) \xleftarrow{\cong} [X,PL/O] \otimes \mathbb{Z}_{(7)} \to [X,BO] \otimes \mathbb{Z}_{(7)} \xrightarrow{p_2} H^8(X;\mathbb{Z}_{(7)})$$ można utożsamić z homomorfizmem Bocksteina $\beta: H^7(X;\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}) \to H^8(X;\mathbb{Z}_{(7)})$, które z kolei można utożsamiać z $\beta: H_2(X;\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}) \to H_1(X;\mathbb{Z}_{(7)})$. Ale obrazem tego jest właśnie jądro mnożenia przez 7, czyli elementy 7-skrętne.$\Box$