Słaby $L^p$ zbieżność dla przejścia do granicy w odcinkowej liniowej aproksymacji funkcji znaku?

Aug 16 2020

Rozważać $$ S_\epsilon(\xi) = \begin{cases} 1 & \text{ if } \xi > \epsilon \\ \xi/\epsilon &\text{ if } |\xi| < \epsilon \\ -1 &\text{ if } \xi < - \epsilon \end{cases}$$ który jest wygładzoną wersją $\mathrm{sign}$ funkcjonować.

Przypuszczam, że $u_n \to u$ słabo w $L^p([0,1])$ dla wszystkich $p \in [1,\infty]$ tak jak $n \to \infty$. Czy to prawda, że$S_\epsilon(u_n-1) \to S_\epsilon(u-1)$ słabo w niektórych $L^p$?

Odpowiedzi

1 StephenMontgomery-Smith Aug 26 2020 at 00:40

Przypuszczać $\epsilon \le 1$. Na$[0,1]$, pozwolić $$ u_n(x) = \cases{ 4 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j} {2n}, \ tfrac {2j + 1} {2n} \ right)$\\ 0 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j + 1} {2n}, \ tfrac {2j + 2} {2n} \ right)$. } $$ Następnie $u_n \rightharpoonup 2$ w $L^p([0,1])$ dla $1 \le p < \infty$, ale $S_\epsilon(u_n-1) \rightharpoonup 0 \ne \epsilon = S_\epsilon(2-1)$.

Nie jestem pewien $p = \infty$ale wątpię, żeby ten kontrprzykład zadziałał.