Stężenie wielokąta bez trójkątów

Dec 23 2020

Poniższy wykres Lamana zawiera nawias kwadratowy bez trójkątów. Innymi słowy, jest to sztywny wykres jednostka-odległość bez 3 cykli. Wydaje się, że jest to najmniejszy przykład usztywnionego wielokąta bez trójkąta . Tak się składa, że ​​jest to podgraf wykresu kostkowego jednostki .

Jakie inne wielokąty regularne mają sztywne konstrukcje bez trójkątów?

Odpowiedzi

4 ParclyTaxel Dec 27 2020 at 00:45

Wszelkie sztywne ramy, a więc wszystkie regularne wielokąty, można przekształcić w ich odpowiedniki bez trójkątów. Po prostu łączenie kopii pliku$12$-vertex bez trójkąta usztywniony kwadrat pokazany w pytaniu (które odkryłem) wzdłuż dwóch współliniowych krawędzi daje sztywny odcinek linii o dowolnej długości całkowitej liczby bez trójkątów:

Następnie dowolną trójkątną siatkę można naśladować bez trójkątów w następujący sposób (wszystkie proste krawędzie w kolorze fuksji są wykonane z powyższą konstrukcją łańcucha wykresów, wszystkie czarne krawędzie to pojedyncze drążki):

Na przykład, aby usztywnić sześciokąt bez trójkątów:


Jednak powyższe usztywnienie sześciokątne jest dość duże. Innym podejściem do stężenia bez trójkąta jest wirtualna krawędź : w każdym osadzeniu wykresu sześciennego z usuniętą jedną krawędzią odległość między dwoma stopniami$2$ wierzchołki (przypadające na brakującą krawędź) muszą zawsze być $1$. Prowadzi to do następującego sztywnego sześciokąta foremnego bez trójkąta$16$ wierzchołki i $29$krawędzie ( dowód popełnienia Shibuya ):

Dwie wersje pokazane powyżej są izomorficzne z teoretycznego punktu widzenia; ich współrzędne mają takie same minimalne wielomiany. W szczególności, używając parametryzacji w Shibuya, plik$x$-współrzędna wierzchołka $7$ spełnia $$12x^2-6(\alpha+2)x+(\alpha^2+4\alpha+1)=0,\ \alpha=\sqrt[3]3$$ $$(864x^6-2592x^5+2808x^4-1296x^3+342x^2-207x+83=0)$$( Dzięki Hulpke za wskazanie mi funkcji GAP, DecomPolyktóra pozwoliła mi uzyskać pierwszy wielomian). Słabe linie w drugiej wersji pokazują, że sztywny wykres jest powiązany z porządkiem-$4$ wykres hipersześcianu.

1 WRSomsky Jan 06 2021 at 02:53

Jako dodatek do odpowiedzi Parcly Taxela, jego heksagonalne stężenia są podzbiorem całej rodziny sześciokątnych stężeń 2DOF. Oto dwóch szczególnie symetrycznych członków tej rodziny. (Kropkowane linie oznaczają separacje jednostek, które nie są uwzględniane jako krawędzie).