Struktura sum kolumn rzeczywistych macierzy ortonormalnych

Question

Załóżmy, że mam kwadratową rzeczywistą macierz ortonormalną $A \in O(D)$. Chciałbym zrozumieć, jaka struktura istnieje w zbiorze sum kolumn$A$.

Na przykład, $O(2)$można sparametryzować pojedynczym skalarem. Aby zobaczyć, dlaczego, zastanów się$A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$. Ponieważ pierwsza kolumna musi mieć normę jednostkową,$c = \sqrt{1 - a^2}$. Ponieważ druga kolumna musi być prostopadła do pierwszej kolumny i musi mieć również normę jednostkową,$b = -c$ i $d = a$. W konsekwencji,$A = \begin{bmatrix} a & -\sqrt{1 - a^2}\\ \sqrt{1 - a^2} & a \end{bmatrix}$ a sumy kolumn to $a + \sqrt{1 - a^2}$ i $a - \sqrt{1 - a^2}$. Kiedy wykreślam sumy kolumn w funkcji$a$Obserwuję te ładne krzywe:

Moje pytanie brzmi: jak uogólnia się ta struktura $O(D)$? Czy zachowana jest jakaś ilość? Jeśli uporządkuję sumy w kolumnach w porządku malejącym, czy zachodzi między nimi związek?

Może to, co chciałbym, to jakieś twierdzenie, które stwierdza, „gdyby sumy z poprzednich kolumn były $A, B, C,...$ wtedy suma w następnej kolumnie jest równa $Z$ / ograniczony między $[-X, Y]$"

Answer 1

Wiedząc, że zbiór wszystkich możliwych wektorów-sum-kolumn jest kulą, zasadniczo odpowiada na wszystkie możliwe pytania, które można by zadać na temat takich wektorów. W szczególności mamy:

Pozwolić $S(n)$ być zbiorem wektorów-kolumn-sum macierzy ortogonalnych w $O(n)$. Następnie$S(n)$ jest równa sferze o promieniu $\sqrt n$ wyśrodkowany na początku.

Z komentarzy:

czy mogę powiedzieć coś więcej? Ponieważ wektory są ortonormalne, sugeruje to, że ustalenie jednego (lub kilku) poważnie ogranicza wybór pozostałych punktów na kuli.

Sprowadzenie hipotezy, że wektory są ortonormalne, nie może dać żadnych lepszych wyników, ponieważ ta hipoteza jest osadzona w twierdzeniu, że zbiór wszystkich wektorów-kolumn jest kulą. Więc tak, ustalenie jednej lub kilku współrzędnych ogranicza inne - ale ogranicza je tylko i dokładnie w tym sensie, że muszą być tak dobrane, aby wynikowy punkt znalazł się na kuli. W rezultacie nie ma sensu wprowadzać żadnych dalszych ograniczeń$S(n)$jest równa kuli - nie jest jej podzbiorem i nie jest jej nadzbiorem, ale jest równa. Dlatego ograniczenie jest tak ścisłe, jak to tylko możliwe.

Na przykład:

1. Możesz sparametryzować $S(n)$, używając dowolnej standardowej parametryzacji kuli .

2. Tak, jeśli naprawisz pierwszy $k$współrzędne, ogranicza to pozostałe współrzędne, ponieważ cały wektor musi kończyć się na kuli. W szczególności pozostałe współrzędne$a_{k+1}, ..., a_n$ musi być tak wybrany $$a_{k+1}^2+...+a_n^2=n-(a_1^2+...+a_k^2)$$ Innymi słowy, jeśli $r^2=a_1^2+...+a_k^2$pozostałe współrzędne należy wybrać ze sfery o promieniu $\sqrt{n-r^2}$ w $(n-k)$-wymiarowa przestrzeń.