Suriektywność stopnia homomorfizmu

Question

Odnośnie następującego pytania i dyskusji:

Czy stopień homomorfizmu $\text{deg}: \text{Pic}(X)\to \mathbb{Z}$ surjektywny?

Zgadzamy się, że jeśli $X$jest krzywą na algebraicznie zamkniętym polu, odpowiedź brzmi tak, a nie zawsze inaczej. Jaka jest odpowiedź w tym przypadku$X$to jest krzywa nad oddzielnie zamkniętym polem?

Czy jest to wystarczający warunek, aby homomorfizm stopnia był suriektywny?

Answer 1

Odpowiedź brzmi: tak, zakładając, że „krzywa” oznacza „geometrycznie zredukowana”. Wszystko zredukowane geometrycznie$k$-schemat typu skończonego ma $k^s$punkt po zdaniu 3.2.20 Algebraicznej geometrii Liu i krzywych arytmetycznych (idea dowodu jest taka, że ​​geometrycznie zredukowane średnie$k(X)/k$jest rozłączny, a miejsce takiego zachowania jest otwarte dla schematów typu skończonego na polu). Potwierdza to twoje twierdzenie, zakładając, że jako część definicji krzywej bierzesz redukcję geometryczną: wybierz regularną$k^s$ punkt.

Możesz również zapoznać się ze Stacks 04QM, aby uzyskać szczegółowe informacje na temat powyższego oświadczenia.