Trójkąt z co najwyżej obszarem $\frac{7}{12}$.

Aug 16 2020

Załóżmy, że są $75$punktów wewnątrz sześcianu jednostkowego tak, że żadne trzy punkty nie są współliniowe. Udowodnić, że spośród podanych powyżej można wybrać trzy punkty, które tworzą co najwyżej trójkąt z polem$\frac{7}{12}$. Jak to jest możliwe, aby obliczyć obszar trójkąta z tych podanych danych? Proszę pomóż. Z góry dziękuję.

Odpowiedzi

4 JohnWhite Aug 16 2020 at 00:43

Podziel kostkę jednostkową na 27 kostek o rozmiarze $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$.

Zgodnie z zasadą szufladki jedna z tych kostek zawiera 3 z 75 punktów. Z podanego warunku punkty te nie są współliniowe. Więc tworzą trójkąt

W sześcianie z boku $a$, maksymalny obszar trójkąta, który może się w nim zmieścić to $\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$.

Z boku $\frac{1}{3}$, to jest $\approx 0.0962 < \frac{7}{12}$

Dlatego te trzy punkty tworzą trójkąt o powierzchni mniejszej niż $\frac{7}{12}$

MikaelHelin Aug 16 2020 at 00:55

Wybierz punkty $(0,0,0)$ i $(1,1,z)$ i $(1,1,0)$. Pole tego trójkąta to$\frac{z}{\sqrt 2}$.

Teraz wybierz $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$

Istnieje nieskończenie wiele sposobów umieszczenia pozostałych 72 punktów, więc powinny istnieć sposoby, aby żadne 3 punkty nie były współliniowe.

Pozostałe punkty mogą na przykład leżeć na płaszczyźnie $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$ i uformuj okrągły kształt.