Trójkąt z co najwyżej obszarem $\frac{7}{12}$.
Załóżmy, że są $75$punktów wewnątrz sześcianu jednostkowego tak, że żadne trzy punkty nie są współliniowe. Udowodnić, że spośród podanych powyżej można wybrać trzy punkty, które tworzą co najwyżej trójkąt z polem$\frac{7}{12}$. Jak to jest możliwe, aby obliczyć obszar trójkąta z tych podanych danych? Proszę pomóż. Z góry dziękuję.
Odpowiedzi
Podziel kostkę jednostkową na 27 kostek o rozmiarze $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$.
Zgodnie z zasadą szufladki jedna z tych kostek zawiera 3 z 75 punktów. Z podanego warunku punkty te nie są współliniowe. Więc tworzą trójkąt
W sześcianie z boku $a$, maksymalny obszar trójkąta, który może się w nim zmieścić to $\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$.
Z boku $\frac{1}{3}$, to jest $\approx 0.0962 < \frac{7}{12}$
Dlatego te trzy punkty tworzą trójkąt o powierzchni mniejszej niż $\frac{7}{12}$
Wybierz punkty $(0,0,0)$ i $(1,1,z)$ i $(1,1,0)$. Pole tego trójkąta to$\frac{z}{\sqrt 2}$.
Teraz wybierz $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$
Istnieje nieskończenie wiele sposobów umieszczenia pozostałych 72 punktów, więc powinny istnieć sposoby, aby żadne 3 punkty nie były współliniowe.
Pozostałe punkty mogą na przykład leżeć na płaszczyźnie $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$ i uformuj okrągły kształt.