Udowodnienie, czy $b^k = a$ i $\text{ord}(a) = n$ następnie $\text{ord}(b) = kn$.

Nov 29 2020

Pozwolić $(G,e)$ być grupą i $a \in G$ mają ograniczony porządek

$\quad \text{ord}(a) = n$

i pozwól $\langle a \rangle$ oznaczają grupę cykliczną wygenerowaną przez $a$.

Załóżmy, że $b \in G$ i $k \ge 2$

$\quad b,\dots, b^{k-1} \notin \langle a \rangle$ i $b^k = a$

Następnie kolejność $b$ jest $kn$.

Dowód

Kolejność $b$ musi być wielokrotnością $n$ od $\langle a \rangle \subset \langle b \rangle$.

Kolejność $b$ musi podzielić $kn$ od $b^{kn} = e$.

Pozostaje tylko zidentyfikować $kn$ różne elementy w $\langle b \rangle$.

Rozważ mapowanie

$\quad (u,v) \mapsto a^u b^v \quad \text{where } 0 \le u \lt n \land 0 \le v \lt k$

Nasza praca będzie zakończona, jeśli pokażemy, że to mapowanie jest iniekcyjne. Osiąga się to za pomocą faktu, że$b^v$ nigdy nie może być nietrywialną odwrotnością żadnych elementów w $\langle a \rangle$.

Przypuszczać $a^u b^v = a^s b^t$ i $u = s$. Następnie$v$ musi być równa $t$.

Więc załóżmy, bez utraty ogólności, że $u \gt s$. Wtedy możemy pisać

$\quad a^w b^v = b^t$

z $0 \lt w \lt n$.

Jeśli $v = t$ od tego czasu mamy sprzeczność $a$ ma porządek $n$.
Jeśli$v \gt t$mamy sprzeczność, ponieważ nie możemy skonstruować nietrywialnego odwrotności.
Jeśli$v \lt t$ od tego czasu mamy sprzeczność $b^{t-u} \notin \langle a \rangle$.

To kończy dowód.

Czy to ważny dowód?

Wydaje mi się to w porządku, ale powodem opublikowania tego pytania jest to, że nie mogłem znaleźć tego w Internecie z faktami matematycznymi . Nie mogłem znaleźć tego (faktu?) Jako zduplikowanego pytania na tej stronie ani nigdzie indziej.

Dlatego interesujące byłyby wszelkie linki do literatury, w których jest to używane.

Odpowiedzi

2 ParclyTaxel Nov 29 2020 at 18:34

Twój dowód jest poprawny. Następuje znacznie krótszy dowód.

Dla $1\le x<kn$, $b^x\ne e$ od $$b^x=(b^k)^{\lfloor x/k\rfloor}b^{x\bmod k}=a^{\lfloor x/k\rfloor}b^{x\bmod k}$$ Zarówno $x\bmod k>0$ i $b^x\not\in\langle a\rangle$ ponieważ pierwszy czynnik jest w $\langle a\rangle$ a drugi nie, lub $x\bmod k=0$ ale $\lfloor x/k\rfloor\in[1,n)$ i $b^x=a^{\lfloor x/k\rfloor}\ne e$.

Jednak łatwo to pokazać $b^{kn}=e$. Stąd kolejność$b$ jest $kn$.