udowodnienie zbieżności $a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}}$ [duplikować]

Question

$a_1=1.$ $a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}}$

Udowodnij, że sekwencja jest zbieżna.

Próbuję udowodnić zbieżność tej sekwencji, ale mam problemy. Na początku pomyślałem, że to może być sekwencja monotoniczna, ponieważ wtedy mogę wypróbować twierdzenie o zbieżności monotonicznej, aby udowodnić jej zbieżność.

Ale po sprawdzeniu niektórych terminów zdałem sobie sprawę, że wydaje się, że sekwencja oscyluje. Nie jestem więc pewien, jak udowodnić zbieżność tej sekwencji.

Dzięki.

Answer 1

Ta sekwencja jest sekwencją Cauchy'ego, więc jest zbieżna.

Najpierw widzisz $a_n>0, \forall n \in \mathbb{N}$z relacji rekurencyjnej. [$a_1=1$ i $a_{n+1}$ jest zdefiniowany jako dodany termin pozytywny]

Drugi od tego czasu $a_n>0$ a zatem $a_{n+1} = 1 + \frac{1}{1+a_n} \leq 2 $

A teraz zastanów się \begin{align} |a_{n+1} - a_n| = \left| \frac{1}{1+a_n} - \frac{1}{1+a_{n-1}} \right| = \frac{|a_n - a_{n-1}|}{(1+a_n)(1+a_{n-1})} \leq \frac{1}{4} | a_n - a_{n -1}| \end{align}a to jest sekwencja cauchy'ego. [Seria z tym formularzem jest nazywana skurczową i po ponownym zastosowaniu tej samej procedury kontynuuje się$|a_2-a_1|$, a dzięki twierdzeniu Squeeze możesz łatwo zgadnąć $a_n$ jest sekwencją Cauchy'ego]

W $\mathbb{R}$ciąg Cauchy'ego implikuje zbieżność, więc jest zbieżny. Następnie biorąc granice$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \alpha$ mamy $\alpha^2 = 2$ i od $a_n>0$, $\alpha = \sqrt{2}$.

Answer 2

Metoda często przydatna w przypadku sekwencji oscylacyjnych: Let $b_n=|(a_n)^2-2|.$ Następnie $$0\le b_{n+1}=\frac {b_n}{(1+a_n)^2}\le \frac {b_n}{4} $$ dlatego $1+a_n\ge 2$ przez indukcję $n$.

Więc $b_n$ maleje do $0$. Więc$(a_n)^2\to 2$ z każdym $a_n>0.$

Motywacja do „$2$"w definicji $b_n$ jest to IF $a_n$ zbiega się do granicy $L$ następnie $L=\lim_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim_{n\to \infty} 1+\frac {1}{1+a_n}=1+\frac {1}{1+L},$ sugerując $L^2=2.$