Udowodnij to $(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})…(1+\frac{1}{n^3})<3$ [duplikować]

Question

Próbowałem użyć indukcji, ale po założeniu, że P (n) jest prawdziwe, nie mogę iść dalej, aby udowodnić, że P (n + 1) jest również prawdziwe. Próbowałem też znaleźć nierówność pośrednią, ale nie potrafię określić, od której nierówności powinienem zacząć.

Coś, co wydawało się przydatne, polegało na pomnożeniu P (n) przez $(1+\frac{1}{(n+1)^3})$dlatego doszedłem do tego

$(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})...(1+\frac{1}{n^3})<3 | \times(1+\frac{1}{(n+1)^3})$

$(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})...(1+\frac{1}{n^3})(1+\frac{1}{(n+1)^3})<3(1+\frac{1}{(n+1)^3})$

ale, jak każdy mógł sobie wyobrazić, doszedłem do sprzeczności, ponieważ próbowałem to udowodnić $3(1+\frac{1}{(n+1)^3})<3$ co jest fałszywe.

Jakakolwiek pomoc byłaby przydatna.

Answer 1

Wykorzystując fakt $1+x\le e^x$ dla wszystkich prawdziwych $x,$ mamy $$\left(1+ \frac{1}{1^3}\right)\left(1+\frac{1}{2^3}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n^3}\right)\le \dfrac{9}{4}\exp\left(\sum_{k=3}^{n}\dfrac{1}{k^3}\right).$$Teraz użyj fakt, że$$\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^3}\lt\dfrac{\pi^2}{7}.$$