Udowodnij to $|a|\leq \max\{|b|,|c|\}$ gdyby $b\leq a \leq c$

Question

Udowodnij to $|a| \leq \max\{|b|,|c|\}$ gdyby $b\leq a \leq c$.

Pokazałem to $a\leq c$ i dlatego $-c\leq a \leq c$ po to aby $|a|\leq c$ale potem utknąłem.
Czy to właściwe podejście?

Answer 1

• $|a| = a \text{ or } -a$
• $a \leq c \leq |c|$
• $- a \leq -b \leq |b|$

Answer 2

Wskazówka:

Po prostu podziel problem na 3 przypadki.

Przypadek 1: $b < 0 \leq c.$

Przypadek 2: $b < c < 0.$

Przypadek 3: $0 \leq b < c.$

Następnie ręcznie atakuj każdy przypadek.

Answer 3

Alternatywny dowód: rozważ funkcję $y=x^2$ gdzie $x\in [b,c]$. Zgodnie z twierdzeniem Fermata (lub po prostu własnością paraboli) nie ma lokalnego maksimum. W związku z tym$$a^2 \leqslant \max(b^2,c^2) \implies |a| \leqslant \max(|b|, |c|).$$