Udowodnij, że suma promieni okręgów

Question

$ABCD$jest cyklicznym czworobokiem. Udowodnij, że suma promieni okręgów narysowanych wewnątrz trójkątów$\Delta ABC$ i $\Delta CDA$ jest równa sumie promieni okręgów narysowanych wewnątrz trójkątów $\Delta BCD$, $\Delta DAB$.

Wpadłem na pomysł, że mogę użyć https://en.wikipedia.org/wiki/Japanese_theorem_for_cyclic_quadrilateralsaby udowodnić, że odległość między środkami jest równa - tworzą prostokąt - ale nie mogę tego rozwiązać. Proszę pomóż.

Answer 1

Wskazówka. Użyj twierdzenia Carnota: dany trójkąt$\Delta ABC$, pozwolić $O$ oznacz jego środek obrzezany, $R$ jego circumradius, i $r$jego inradius. Pozwolić$O_1,O_2,O_3$ być ponadto rzutami ortogonalnymi $O$ na $BC, CA, AB$odpowiednio. Mamy wtedy$$OO_1+OO_2+OO_3=R+r$$ Uwaga: segment $OO_i$ przyjmuje się, że jest ujemny, jeśli $OO_i$ leży całkowicie na zewnątrz $\Delta ABC$a poza tym pozytywne.

Tutaj,$\color{blue}{OO_2}$ byłoby ujemne, podczas gdy $\color{red}{OO_1, OO_3}$są pozytywne. Dla wygody niech$AB=:c, BC=:a, CA=:b$. Zauważ, że$OO_3BO_1$ jest cyklicznym czworobokiem od $\angle BO_3O+\angle OO_1B=90^\circ+90^\circ=180^\circ$i stąd możesz użyć twierdzenia Ptolemeusza w celu wnioskowania $$\begin{align*}OB\cdot O_1O_3&=OO_3\cdot BO_1+O_3B\cdot OO_1\\\iff R\cdot \frac{b}2&=OO_3\cdot \frac{a}2+\frac{c}2\cdot OO_1\end{align*}$$Analogicznie otrzymasz \ begin {cases} R \ cdot a = OO_3 \ cdot b + OO_2 \ cdot c \\ R \ cdot b = OO_1 \ cdot c + OO_3 \ cdot a \\ R \ cdot c = OO_2 \ cdot a + OO_1 \ cdot b \ end {cases}

Dodaj je i rozważ dobrze znane równanie $$r\cdot (a+b+c)=2\cdot [\Delta ABC]=OO_1\cdot a+OO_2\cdot b+OO_3\cdot c$$ (czy teraz widzisz, dlaczego warto wziąć $OO_2$być negatywnym?). Pierwsza część jest tylko konsekwencją podziału$\Delta ABC$na trzy trójkąty ze środkiem w postaci wierzchołka. Druga część jest banalna. $$\begin{align*}R\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (b+c)+OO_2\cdot (c+a)+OO_3\cdot (a+b)\\ R\cdot (a+b+c)+r\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (a+b+c)+OO_2\cdot (a+b+c)+OO_3\cdot (a+b+c)\\\iff R+r&=OO_1+OO_2+OO_3\end{align*}$$

Wracając do twojego problemu, dość łatwo jest skończyć, gdy mamy ten klejnot :)

(Będę się odnosił do obrazu.) Zauważ, że używając twierdzenia Carnota dwukrotnie, raz na jakiś czas $\Delta ABD$ i znowu dla $\Delta BCD$, otrzymujemy $$R+r_1=OO_1+OO_5+OO_4\qquad \text{and}\qquad R+r_2=OO_2+OO_3+OO_5$$ Zauważ, że $OO_5$ jest negatywne dla $\Delta ABD$ i pozytywne dla $\Delta BCD$. Tak więc, jeśli dodasz te dwa równania, otrzymasz$$r_1+r_2=OO_1+OO_2+OO_3+OO_4-2R$$ Łatwo zauważyć, że to wyrażenie będzie identyczne w odniesieniu do $r_3+r_4$.