Udowodnij, że topologia produktu jest w $\Bbb C^n$ jest równy zwykłemu

Jan 08 2021

Więc dobrze wiadomo, że funkcja $\tau_n:\Bbb C^n\times\Bbb C^n\rightarrow\Bbb C$ określone przez warunek

  1. $\tau_n(x,y):=\sum_{i=1}^n x_i\overline y_i$

dla każdego $x,y\in\Bbb C^n$jest produktem wewnętrznym. Dlatego proszę o udowodnienie, że topologia produktu jest włączona$\Bbb C^n$ wywołane przez produkt wewnętrzny $\tau_1$ jest równa topologii $\tau _n$jak zdefiniowano powyżej. Zwracam uwagę, że potrzebuję tego wyniku, aby pokazać, że funkcje liniowe między dwiema topologicznymi przestrzeniami wektorów są ciągłe, a więc aby pokazać, że wszystkie topologie w skończenie wymiarowej topologicznej przestrzeni wektorowej są równoważne, a zatem uprzejmie proszę, aby nie podawać tego, co właśnie powiedziałem jako odpowiedź. Więc czy ktoś mógłby mi pomóc, proszę?

Odpowiedzi

1 mathcounterexamples.net Jan 08 2021 at 04:16

Topologia produktu jest generowana przez normę

$$N_\infty(x)=\max(\vert x_1\vert, \dots \vert x_n\vert)$$ gdzie $\vert x \vert = \sqrt{\tau_1(x,x)}$. Oznaczanie

$$N_2(x) = \sqrt{\tau_n(x,x)}$$ mamy

$$1/\sqrt{n}N_\infty(x) \le N_2(x) \le \sqrt{n} N_\infty(x)$$ co pozwala dojść do pożądanego rezultatu.