Udowodnij, że w sekwencji połączonych podzbiorów przecięcie jest skończone i niepuste

Question

Nagłówek jest tylko uproszczoną wersją. Obecnie czytam Understanding Analysis i pracuję nad wstępami. Pytanie brzmi:

Jeśli $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ są skończonymi, niepustymi zbiorami liczb rzeczywistych, a następnie przecięciem $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ jest skończony i niepusty.

Książka w tym momencie nie ma formalnie określonej skończoności. Poza tym jedyną, moim zdaniem, wskazówką, jaką daje książka, jest pytanie:

Jeśli $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ to wszystkie zbiory zawierające nieskończoną liczbę elementów, a następnie przecięcie $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ jest również nieskończona.

Za pomocą tego pytania i podanego wcześniej przykładu mogę rozwiązać ten problem definiując zbiór $A_i = \{i,i+1,i+2\dots\}\subseteq N$ i dowód przez zaprzeczenie.

Jednak jeśli chodzi o $A_i$ zawierające elementy skończone, po prostu nie wiem, jak to zrobić

1. Udowodnij z definicji
2. Zrozumienie intuicji stojącej za nią nie może znaleźć przeciwnego przykładu, takiego jak nieskończona wersja

Answer 1

Jednym ze sposobów jest zauważenie malejącej sekwencji dodatnich liczb całkowitych, w tym przypadku liczności zbiorów $A_k$musi ostatecznie być stała. Dla$k\in\Bbb Z^+$ pozwolić $n_k=|A_k|$, liczba elementów w $A_k$; $n_k$jest dodatnią liczbą całkowitą. Pozwolić$N=\{n_k:k\in\Bbb Z^+\}$; $N$ jest niepustym zbiorem dodatnich liczb całkowitych, więc zawiera najmniejszy element $m$. Pozwolić$\ell\in\Bbb Z^+$ bądź taki, że $n_\ell=m$.

$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$, więc $n_{\ell+1}\le n_\ell=m$. Ale$m=\min N$, więc $n_{\ell+1}\ge m$, i dlatego $n_{\ell+1}=m$. A zatem,$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$ i $|A_{\ell+1}|=|A_\ell|$ , więc $A_{\ell+1}=A_\ell$. Możesz użyć tego pomysłu, aby udowodnić to przez indukcję$A_k=A_\ell$ dla każdego $k\ge\ell$. Wtedy już prawie gotowe.$A_k\supseteq A_\ell$ dla $k=1,\ldots,\ell$, i $A_k=A_\ell$ dla $k>\ell$, więc

$$\bigcap_{k\ge 1}A_k=\bigcap_{k=1}^\ell A_k\cap\bigcap_{k>\ell}A_k=A_\ell\cap A_\ell=A_\ell\,.$$