Ulepszona klasyfikacja zwartych grup Lie
To pytanie jest kontynuacją Klasyfikacji (niekoniecznie połączonych) zwartych grup Liego . W odpowiedzi na to pytanie @LSpice udowodnił, że każda zwarta, niekoniecznie połączona grupa Lie$G$ przyjmuje formę $$ G = \frac{G_0 \rtimes R}{P} $$ gdzie $G_0$ jest składnikiem tożsamości $G$, $R$ jest grupą skończoną i $P$ jest skończoną, wspólną podgrupą $G_0$ i $R$ to jest centralne w środku $G_0$ (ale nie musi być w środku $R$).
Niemniej jednak istnieje wiele możliwości produktu pół-bezpośredniego. Aby zawęzić listę, wygodnie byłoby wydzielić te elementy$R$ które działają przez nietrywialne zewnętrzne automorfizmy na $G_0$ a resztę zmodyfikuj tak, aby dojeżdżali z $G_0$.
AKTUALIZACJA: moja pierwotna hipoteza (poniżej) jest fałszywa. Słabsza, prawdopodobnie poprawna wersja to:
Hipoteza: $R$ i $P$ można wybrać powyżej taki, że każdy element $R$ albo (1) działa na zasadzie nietrywialnego automorfizmu zewnętrznego $G_0$ lub (2) działa trywialnie $G_0$.
UPDATE 2: @LSpice udowodniło to w zaktualizowanej odpowiedzi na Klasyfikację (niekoniecznie połączonych) zwartych grup Lie . Poniższa odpowiedź zawiera zwięzłe przeformułowanie dowodu.
Dla porównania jest to fałszywe:
Hipoteza: Dowolna zwarta grupa Lie $G$ można zapisać w formularzu $$ G = \frac{(G_0 \times H) \rtimes R}{P} $$ gdzie $H, R, P$ są skończonymi grupami i nietrywialnymi elementami $R$ działać na podstawie nietrywialnych zewnętrznych automorfizmów $G_0$.
Kontrprzykład: rozważ $G = U(1) \rtimes \mathbb{Z}_4$, gdzie generator $r$ z $\mathbb{Z}_4$ działa przez zewnętrzny automorfizm `` koniugacji ładunku '' $r^{-1} e^{i \theta} r = e^{-i \theta}$ na $U(1)$. W jakimkolwiek skończonym rozszerzeniu$G'$ z tej grupy elementy $\pi_0(G)$ ta koniugacja aktu przez ładunek nigdy nie będzie zgodna z tożsamością $G'$, więc $G'$ nigdy nie przyjmuje wymaganego $(G\times H) \rtimes \mathbb{Z}_2$ formularz z $\mathbb{Z}_2$ działając dalej $U(1)$ przez koniugację ładunku.
Odpowiedzi
@LSpice udowodnił już moje zrewidowane przypuszczenie w zaktualizowanej odpowiedzi na Klasyfikację (niekoniecznie połączonych) zwartych grup Lie , ale pozwólcie mi podać inny, blisko powiązany dowód.
Od $1\to \mathrm{Inn}(G_0) \to \mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0) \to 1$zawsze dzieli, zobacz Czy Aut (G) → Out (G) zawsze dzieli się dla zwartej, połączonej grupy Lie G? możemy wybrać podgrupę$R_0 \subseteq \mathrm{Aut}(G_0)$ dla których ograniczenie $\mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0)$jest izomorfizmem. Odwrotny obraz$R_0$ pod mapą $f:G \to \mathrm{Aut}(G_0)$ indukowana przez koniugację jest podgrupą $K \subseteq G$ którego przecięcie z $G_0$ jest $Z(G_0)$.
Mnożenie dowolnego $g\in G$ przez arbitralne $h \in G_0$ mnoży skojarzone $f(g) \in \mathrm{Aut}(G_0)$ przez arbitralny wewnętrzny automorfizm $f(h) \in \mathrm{Inn}(G_0)$bez zmiany $g$podłączony komponent. A zatem,$K$ spełnia wszystkie połączone komponenty $G$.
Używając wyniku w dowolnej grupie Liego z nieskończenie wieloma połączonymi składnikami, czy istnieje skończona podgrupa, która spotyka każdy składnik? ,$K$ ma skończoną podgrupę $R$ który spełnia każdy element $K$, stąd spełnia każdy element $G$ również i przecina się $G_0$ w ciągu $Z(G_0)$. Z założenia elementy$R$ albo działają na podstawie nietrywialnych zewnętrznych automorfizmów $G_0$ albo działają trywialnie $G_0$. To potwierdza moje (zrewidowane) przypuszczenie.
DODANO KOMENTARZ: Interesujące, ale fałszywe uogólnienie zostało przedstawione poniżej i obalone.
Powszechnie wiadomo, że każda zwarta, połączona grupa Lie$G_0$ przyjmuje formę $$G_0 = \frac{T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell}{P}$$ gdzie $T^k$ oznacza a $k$-torus, $G_1, \ldots, G_\ell$ są zwarte, po prostu połączone, proste grupy Lie i $P$jest centralny. Można by pomyśleć, że ilorazy w wyrażeniach for$G$ i $G_0$ można łączyć, dzięki czemu każda kompaktowa grupa Lie $G$ przybrałby postać: $$ G = \frac{(T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell) \rtimes R}{P} $$ gdzie jak przed każdym elementem $R$ działa przez nietrywialne zewnętrzne lub działa trywialnie $T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell$. Jednak to nieprawda .
Kontrprzykład: rozważ $G=(\mathrm{SO}(2k) \rtimes \mathbb{Z}_4) / \mathbb{Z}_2$, gdzie generator $r \in \mathbb{Z}_4$ działa na zasadzie parytetu $\mathrm{SO}(2k)$ i $r^2 = -1 \in SO(2k)$. Teraz pozwól$G’=(\mathrm{Spin}(2k) \rtimes R)/P$ być przykrywką $G$ którego jest połączony komponent $G_0'=\mathrm{Spin}(2k)$. Jest jakiś element$r'$ z $R$ że projekty do $r$, W związku z tym $r’$ działa $\mathrm{Spin}(2k)$przez parytet. Gdyby$k$ jest więc dziwne $Z(G_0') = \mathbb{Z}_4$, i $(r’)^2$ musi być jednym z dwóch elementów w kolejności 4 cale $Z(G_0')$ do projekcji $(r)^2 = -1$. Jednak parzystość zamienia te dwa elementy, więc znajdujemy$(r’)^{-1} (r’)^2 r’ \ne (r’)^2$, co jest sprzecznością. Sprawa nawet$k$ jest bardzo podobny.