Unikalność równania funkcjonalnego?

Question

TL; DR. Próbuję zrozumieć, dlaczego parametr$\beta$ w mierze Gibbsa jest odwrotnością temperatury $1/T$ w kontekście dynamiki termicznej.

---

W przestrzeni gładkich bijekcji (dyfeomorfizmów) z $(0,\infty)$ do $(0,\infty)$, funkcja

$$ x \mapsto \frac{1}{x}$$

spełnia równanie funkcyjne

$$ \frac{\phi(x) + \phi(y)}{2} = \phi(\frac{2xy}{x+y}).$$

W rzeczy samej,

$$ \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{2} = \frac{x+y}{2xy}.$$

Pytanie

Czy to jedyne rozwiązanie?

Próby i motywacja

Użyłem kilku technik ... takich jak badanie granic, znajdowanie specjalnych wartości lub różnicowanie $x\phi(x)$.. itd. To pytanie pochodzi z mechaniki statystycznej. Pomoże mi to zrozumieć, po zaakceptowaniu miary Gibbsa

$$ \mu(s) \sim exp(-\beta s) $$

jest naturalne, dlaczego parametr $\beta$ wprowadzone z metody mnożnika Lagrange'a naturalnie odpowiada odwrotności temperatury $\frac{1}{T}$ w kontekście dynamiki termicznej.

Answer 1

Wskazówki do znalezienia $\phi$: Różnicowanie wrt $x$ dostać $\frac 1 2 \phi'(x)=\phi '(\frac {2xy} {x+y}) \frac {2y^{2}} {(x+y)^{2}}$. Teraz włóż$x=1$ dostać $ \phi '(\frac {2y} {1+y})$. Położyć$t=\frac {2y} {1+y}$ i dostaniesz $\phi'(t)$ dla każdego $t \in (0,1)$.

Leczenie $\phi'(1)$ jako dowolna stała $c$, wtedy będziesz miał

$$t^2 \phi'(t) = c.$$

Przez twierdzenie o wartości średniej, $\phi(t) = c/t$ są jedynymi rozwiązaniami.