Universal Generalization ( $\forall$ - JA)
Przy tej zasadzie dedukcji, w założeniu reguły: termin, który ma być podstawiony za zmienną, musi być arbitralny (odwołać się do dowolnego d$\in$ RE).
Co jest arbitralne, a nie arbitralne?
- $ P(a) \quad\quad Premise$
- $ \forall x P(x) \quad (1), \forall-I: a/x$
Czy termin john nie zostałby uznany za arbitralny, a zatem wiersz 2 byłby nieprawidłowy?
- $ P(john) \quad Premise$
- $ \forall x P(x) \quad (1), \forall-I: john/x$
Odpowiedzi
Przede wszystkim mam nadzieję, że rozumiesz tę intuicję:
To, że jakiś konkretny obiekt ma jakąś właściwość, oczywiście nie oznacza, że wszystkie obiekty z domeny mają tę własność.
Jeśli jednak dowolny obiekt z domeny ma jakąś właściwość, to wszystkie obiekty mają.
I żeby było jasne: przez „dowolny” przedmiot rozumiemy: nie wiemy i nie założyliśmy nic o tym obiekcie poza tym, że jest to jakiś przedmiot z dziedziny.
To, jak dokładnie jest to formalizowane w określonym systemie formalnym, zależy od wielu formalnych szczegółów. W niektórych systemach zmienne są używane do oznaczania dowolnych obiektów, ale w innych używane są „stałe tymczasowe”, zazwyczaj w połączeniu z pewnymi rodzajami poddowodności.
Jeśli więc zapytasz mnie, czy możesz złożyć wniosek $\forall \ I$ wywnioskować $\forall x \ P(x)$ od $P(John)$, Naprawdę nie mogę na to odpowiedzieć; wszystko zależy od specyfiki używanego systemu.
Plik $(\forall \text I)$zasada jest taka:
Jeśli $\Gamma \vdash \varphi[x/a]$, następnie $\Gamma \vdash \forall x \varphi$, pod warunkiem że parametr $a$a jest „świeży” w tym sensie, że nie występuje w nim żadne inne wystąpienie $\Gamma , \varphi$
Zastrzeżenie jest zgodne z intuicyjnym znaczeniem reguły: jeśli $\varphi$ uchwyty przedmiotu $a$ cokolwiek, to trzyma się każdego przedmiotu.
Aby uniknąć błędu, potrzebne jest zastrzeżenie: Jan jest filozofem, a zatem wszystko jest filozofem.
W swoim złym dowodzie powyżej popełniłeś dokładnie ten błąd: parametr $a$ [w twoim przypadku: John] nie może występować w $\Gamma$. W Twoim przypadku$\Gamma = \{ P(\text {John}) \}$.
Podsumowując, pytanie brzmi: jak możesz udowodnić $\vdash P(\text {John})$?
Przykład: rozważmy język arytmetyki pierwszego rzędu z indywidualnymi stałymi $0$ i $1$ i pozwól $\mathsf {PA}$zbiór aksjomatów Peano pierwszego rzędu .
Mamy: $\mathsf {PA} \vdash (0 \ne 1)$,
Teraz składam wniosek $(\forall \text I)$ do niego, używając $0$ tak jak $\text {John}$kończymy: $\mathsf {PA} \vdash \forall x (x \ne 1)$.
Gdzie jest błąd ?