Uzupełniające podprzestrzenie, pytanie prawda / fałsz
Prawda czy fałsz?
$W_1$, $W_2$ i $W_3$ są podprzestrzeniami z przestrzeni wektorowej $V$. Jeśli$W_1 ⊕ W_2 = V$ i $W_1 ⊕ W_3 = V$ , następnie $W_2 = W_3$.
Na egzaminie zadano mi to mniejsze pytanie i powiedziałem, że to prawda, ale później powiedziano mi, że jest fałszywe. Czy ktoś może mi wytłumaczyć dlaczego, abym mógł intuicyjnie zobaczyć to w mojej głowie, że to rzeczywiście fałsz. Dopiero wtedy mogę podać kontrprzykład.
Z góry dziękuję.
Odpowiedzi
$W_2$ i $W_3$ są izomorficzne, ale mogą nie być tą samą podprzestrzenią.
Jednym ze sposobów spojrzenia na to jest najpierw wybranie podstawy $B$ z $W_1$. Istnieją różne sposoby rozszerzenia tej podstawy na podstawę$W_1 \oplus W_2$, więc dodatkowe wektory zostały dodane do $B$ może obejmować różne podprzestrzenie.
Innym sposobem jest wyobrażenie sobie automorfizmu $\alpha$ z $V$, (tj $\alpha:V \to V$to odwracalna mapa liniowa). Przypuszczam, że$W_1$ jest niezmienną podprzestrzenią $\alpha$. Następnie$W_1 \oplus \alpha (W_2)=V$ dla wszystkich takich $\alpha$.
Naprawdę źle! Masz na przykład to$$\mathbb R^2=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(0,1)\}=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(1,1)\},$$ ale $$\text{Span}\{(1,1)\}\neq \text{Span}\{(0,1)\}.$$