Uzyskaj sumę ciągu z sumy jego nieparzystych wyrazów.
Chciałbym obliczyć sumę $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} $$ używając szeregu Fouriera $f(x)=|x|$ nad $(-\pi,\pi)$. Współczynniki$b_k$ są wszyscy $0$ dlatego $f$jest równa. Robiąc rzeczy integracyjne, uzyskałem:$$ a_0 = \pi $$ i $$ a_k = \frac{2}{k^2}\bigg((-1)^k-1\bigg) $$ dla $k>0$. Równość Parsevala daje:$$ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2dx $$ co daje $$ \frac{\pi^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{\pi^2k^4}(2-2(-1)^k) = \frac{2}{3}\pi^2 $$ co upraszcza $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^4} = \frac{\pi^4}{48} $$ który zasadniczo mówi: $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} $$ masz pomysł, jak uzyskać stamtąd sumę?
Odpowiedzi
Zauważ, że to, co masz, jest tym $2\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k+1)^4}=\frac {\pi^4}{48}$. Powołanie$\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{k^4}=S$ masz to $\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k)^4}=\frac 1{16} S$ i wreszcie masz $S-\frac 1{16}S=\frac 12 \frac {\pi^4}{48}$ z którego $S=\frac {\pi^4}{90}$
Zasadniczo masz
$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ... = \frac{\pi^4}{96}}$$
Chcesz znaleźć
$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ... = ?}$$
innymi słowy, chcesz dodać
$${\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...}$$
Rozliczenie a ${\frac{1}{2^4}}$ na powyższe plony
$${\frac{1}{2^4}\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...\right)}$$
Więc ogólnie, jeśli zadzwonisz ${S=\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...}$ ty masz
$${\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ...\right) + \left(\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...\right) = S}$$
$${\Rightarrow \frac{\pi^4}{96} + \frac{1}{2^4}S = S}$$
Czy możesz teraz zmienić kolejność ${S}$?