Warunkowy rozkład normalny [duplikat]
Chciałbym znaleźć warunkowy dwuwymiarowy rozkład normalny. Istnieją dwie zależne zmienne normalne o tym samym rozkładzie i współczynniku korelacji$\rho$: $X,Y \sim N(\mu, \sigma^2)$. chciałbym dostać$P(X|Y>M)$.
Znalazłem warunkowe oczekiwanie $X$ jeśli się uwzględni $Y$ jest większe niż $M$: $E(X|Y>M)= \mu + \rho \sigma \frac{\phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}{1-\Phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}$.
Ale jaka jest warunkowa wariancja $var(X|Y>M)$? Czy to jest$(1-\rho^2)\sigma^2 $, tak jak w przypadku $var(X|Y=M)$, gdzie wariancja nie zależy $M$?
I jest to dystrybucja warunkowa $N(E(X|Y>M),var(X|Y>M))$?
Odpowiedzi
Wariancja warunkowa zależy od $M$.
Nie jestem w stanie znaleźć zamkniętej formy dla warunkowej wariancji, ale mogę znaleźć zamkniętą formę dla gęstości. Znalazłem to, zaczynając od funkcji dystrybucji warunkowej, używając definicji prawdopodobieństwa warunkowego, a następnie różnicując, aby znaleźć gęstość warunkową.
Gęstość przy użyciu formularza wejściowego Mathematica to:
(((mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] -
((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] +
(1 + Erf[Sqrt[(2*s^2 - 2*rho^2*s^2)^(-1)]*(mu - mu*rho + rho*t)])/Sqrt[(s^2 - rho^2*s^2)^(-1)])/(2*E^((mu - t)^2/(2*s^2))*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[(1 - rho^2)*s^4]*(1 - Erfc[(-M + mu)/(Sqrt[2]*s)]/2))
Twój wzór na średnią warunkową jest poprawny.
Wiem, że zależy od wariancji warunkowej $M$ ponieważ obliczyłem to przez całkowanie numeryczne.