Wątpliwość związana z dowodem twierdzenia o wymiarach włókien.

Aug 16 2020
  1. $f:X \rightarrow Y$ być morfizmem odmian takim, że dla każdego $p\in Y,\, \dim f^{-1}(p) = n$. Następnie$\dim X=\dim Y+n$. W dowodzie tego twierdzenia, jeśli zastąpię$X$przez afiniczny zbiór otwarty, dlaczego wymiar włókna jest taki sam. Proszę wytłumacz.
  2. $f:X \rightarrow Y$ być morfizmem odmian afinicznych, takich jak dla każdego $p\in W,\, \dim f^{-1}(p) =n$ dla jakiegoś gęstego podzbioru $W$ z $Y$. Następnie$\dim X= \dim Y+n$. Próbowałem spisać na to dowód, który jest następujący:

Dowód przez indukcję $\dim Y$. Nic do udowodnienia, kiedy$\dim Y=0$. Pozwolić$X \subseteq A^{r}, Y \subseteq A^{m}$ być odmianami zamkniętymi. $f=(f_{1},...,f_{m})$, gdzie $f_{i} \in K[x_{1},...,x_{r}]$.

Pozwolić $F \in K[x_{1},...,x_{m}] \setminus I(Y)$. $\quad Y^{'}=Y \cap Z(F)$.

$X^{'}=f^{-1}(Y^{'})=X \cap Z(F(f_{1},...,f_{m}))$. $\quad F(f_{1},...,f_{m}) \in K[x_{1},...,x_{r}] \setminus I(X)$.

$\widetilde{X}$ być nieredukowalnym składnikiem $X^{'}$. $\quad \dim \widetilde{X}=\dim X-1$.

Istnieje składnik nieredukowalny $\widetilde{Y}$ z $Y^{'}$ takie że $\quad f(\widetilde{X}) \subseteq \widetilde{Y}$. $\quad \dim \widetilde{Y}=\dim Y-1$.

Rozważać $f:\widetilde{X} \rightarrow \widetilde{Y}$.

Jak mogę stwierdzić, że włókno jest takie samo? Proszę rozwiązać ten problem.

Odpowiedzi

MattKeller Aug 20 2020 at 19:24

Załóżmy tutaj nieredukowalność.

  1. Ponieważ otwarcia afiniczne są gęste, ograniczając się do otwartego afinicznego, albo całkowicie tracisz włókno, albo włókno po prostu staje się kolejnym gęstym podzbiorem siebie (stąd nie zmienia wymiaru). Aby uzyskać obraz, rozważ trywialną projekcję$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$, gdzie każde włókno jest kopią $\mathbb{P}^1$. Jeśli ograniczysz się do afinicznej otwartej strony$\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1$staje się włókno $\mathbb{A}^1$ lub pusty (ponad nieskończoność).

  2. Intuicyjnie, jeśli weźmiesz pod uwagę mapę algebry $f^*:B=\Gamma(Y)\to A=\Gamma(X)$, to dowolny ogólny maksymalny ideał $\mathfrak{m}$ jest odwzorowany na jakiś główny ideał $P$ który można przedłużyć do łańcucha $P\subset P_1\subset\cdots \subset P_n$. Zauważ, że$f^*$ powinien być iniekcyjny (nie do końca, ale załóżmy, że tutaj), wtedy maksymalny ideał ma łańcuch $P'_0\subset\cdots\subset P'_{\text{dim}(Y)}=\mathfrak{m}$i obraz tych liczb pierwszych jest wciąż pierwszy; więc masz długi łańcuch długości$\dim(Y)+n$ w $\Gamma(X)$. Nie jestem pewien, czy uzupełnienie tego do pełnego dowodu jest łatwiejsze ...