Wyjaśnienie wyprowadzenia wzoru na sumę ciągu arytmetycznego pierwszych n wyrazów

Question

Próbuję zrozumieć wyprowadzenie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego pierwszego $n$ warunki.

Nie rozumiem, jakie reguły lub rozumowanie pozwalają na dodanie dwóch sekwencji w odwrotnej kolejności, aby wyeliminować wspólną różnicę $d$ i dojść do wniosku, że suma ciągu arytmetycznego pierwszego $n$ warunki to połowa $n$razy suma pierwszego i ostatniego wyrazu. Wydaje się, że jest to wymyślny sposób na wyeliminowanie wspólnej różnicy z rozszerzonej, opartej na jakiejś niewyjaśnionej wiedzy$d$ i ogólnie sekwencje arytmetyczne.

Badałem tę kwestię w podręcznikach do matematyki oraz w Internecie i za każdym razem, gdy prezentowane jest wyprowadzenie, nie mogę znaleźć wyjaśnienia, dlaczego dla matematyka byłoby oczywiste, że dodając sekwencje, wyprowadziliby wzór.

Tło.

Wyprowadzenie wzoru, jak wyjaśniono w wielu podręcznikach i witrynach internetowych, jest następujące.

1. Aby znaleźć sumę ciągu arytmetycznego dla pierwszego $n$ warunki $S_n$możemy wypisać sumę w odniesieniu do pierwszego członu $a_1$ i wspólna różnica $d$.

$$ S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + ... + a_n $$

1. Możliwe jest również zapisanie sekwencji w odwrotnej kolejności w stosunku do ostatniego terminu $a_n$.

$$ S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + ... + a_1 $$

1. Kiedy dodamy te sekwencje razem, wyprowadzimy wzór na sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego.

$$ \begin{array}{r} S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + \ldots + a_n \\ + \,S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + \ldots + a_1 \\ \hline 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) \ldots \end{array} $$

1. Ponieważ są $n$ wiele dodatków $(a_1 + a_n)$ długa suma jest uproszczona jako $n(a_1 + a_n)$ i rozwiązywanie dla $S_n$ dochodzimy do wzoru.

$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$

Niestety, nie wydaje mi się, aby w żadnym z tych wyjaśnień znaleźć uzasadnienie, dlaczego dodano te dwie sekwencje (kolejność zwykła i odwrotna). Dla mnie ma sens, że zostały dodane, ale nie dlaczego był to kolejny logiczny krok przy wyprowadzaniu wzoru.

Pytanie.

Dlaczego dodano te dwie sekwencje w celu uzyskania wzoru i co to mówi o naturze ciągów arytmetycznych?

Próbując to rozgryźć, zauważyłem, że badając wiele ciągów, możemy zobaczyć, że stosunek sumy sekwencji do pierwszego $n$ warunki $S_n$ oraz suma pierwszego i ostatniego wyrazu $(a_1 + a_n)$ jest zawsze $\frac{n}{2}$dla dowolnej sekwencji arytmetycznej. Więc prawdopodobnie można by powiedzieć przez indukcję, że jeśli dla dowolnego ciągu arytmetycznego jest prawdą, że:

$$ \frac{S_n}{a_1 + a_n} = \frac{n}{2} $$

Wtedy też musi być prawdą, że:

$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$

Jednak dla mnie to nadal nie wyjaśnia, dlaczego wyprowadzenie decyduje się na dodanie dwóch sekwencji.

Answer 1

Przemienność dodawania pozwala na permutację sumy dwóch dodatków. Poprzez indukcję liczby addend możesz rozszerzyć to na dowolną skończoną liczbę addendów. Łączność umożliwia następnie grupowanie ich w dowolny sposób.

Answer 2

Pomyśl o sumie liczb trójkątów. Aby dodać pierwsze n liczb, bierzesz pierwszą i ostatnią i łączysz je, aby uzyskać n + 1, a następnie robisz to samo dla drugiej i przedostatniej liczby, aby uzyskać n + 1. Aby zobaczyć obraz tego procesu, spójrz nahttps://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number. Tutaj, w twoim pytaniu, twój trójkąt jest trochę krzywy i nie dochodzi do sedna, ale idea pozostaje ta sama :).