Wykazanie niemożności narysowania równoległości przez punkt przy użyciu tylko prostej krawędzi.

Question

Z odpowiedzi na to pytanie wynika, że ​​dobrze wiadomo, że nie można prześledzić równoległości do prostej:$\ell$ przez punkt: $P$, używając wyłącznie liniału.

Czy możesz wykazać taki fakt?

Answer 1

Konstrukcja, która używa tylko prostej krawędzi, może zostać przekształcona poprzez transformację rzutową (aka homografia) .

Załóżmy, że masz prostą konstrukcję dla linii $m$ przez punkt $P$ równolegle do linii $\ell$. Załóżmy, że rzutowe mapy transformacji$P\rightarrow P'$ i $\ell\rightarrow \ell'$. Wtedy ta sama konstrukcja stworzyłaby linię$m'$ co generalnie nie jest równoległe do $\ell'$. Mamy więc sprzeczność i nie ma takiej prostej konstrukcji.

Demonstracja jest trochę bardziej przekonująca, jeśli transformacja projekcyjna odejdzie $P$ i $\ell$niezmienny. W takim przypadku ta sama konstrukcja utworzyłaby dwie różne linie, po zastosowaniu przed i po tym samym punkcie i linii.