Wymagane odniesienie do twierdzenia o teorii homotopii
Natknąłem się na ten post: Grupy homotopii zwartej rozmaitości topologicznej, które dokładnie określają wynik, którego potrzebuję do twierdzenia, nad którym pracuję. Jednak potrzebowałbym odniesienia, ponieważ słuchacze nie muszą być bardzo dobrze zorientowani w teorii homotopii.
Czy ktoś mógłby zasugerować, gdzie mogę znaleźć wynik:
Twierdzenie: Każdy zamknięty, połączony gładko$d$-Kolektor $M$ ma ciągłą i nie nullhomotopową mapę $f: S^{d'} \rightarrow M$ dla jakiejś sfery $S^{d'}$ z $1 \leq d' \leq \dim(M)$.
Innymi słowy, jeśli $M$ jest zamkniętą i połączoną gładką rozmaitością, to jest nietrywialna $\pi_{d'}(M)$ dla niektórych $d'\leq \dim(M)$.
Odpowiedzi
To nie jest odniesienie, ale krótki dowód:
jeśli nie, to z $d'=1$ widzimy to $M$ musiałby być po prostu połączony.
W szczególności, jeśli wszystkie grupy homologii znikną, to $M$jest kurczliwy. Ale grupy homologii w wymiarze$> \dim(M)$ zawsze znikają, a hipoteza sugeruje (Hurewicza), że homologia grupuje wymiar $\leq \dim(M)$ też znikną.
To daje do zrozumienia ze $M$ jest skurczalna, co jest niemożliwe przez dwoistość Poincarégo (albo mod $2$lub integralnie, ponieważ $M$ jest po prostu podłączony)
Mówiąc prościej: $M$ jest mod $2$-orientowany, więc musi mieć nietrywialny mod $2$-kohomologia, to musi mieć wymiar $\leq \dim(M)$, ale hipoteza implikuje, że nie, na podstawie twierdzenia Hurewciza.