Wyprowadzenie transformacji dolnoprzepustowej do pasmowoprzepustowej

Question

Mam podstawowe pytanie.

„Dobrze znana” transformacja dolnoprzepustowa do pasmowoprzepustowej to $$ s \longmapsto \frac{\bar{s}^2 + \omega_1\omega_2}{\bar{s}(\omega_1 - \omega_2)}, $$ co daje funkcję przenoszenia pasmowoprzepustowego $$ \frac{1}{s + 1} \longmapsto \frac{\bar{s}(\omega_1 - \omega_2)}{\bar{s}^2 + \bar{s}(\omega_1 - \omega_2) + \omega_1 \omega_2}. $$

Moja intuicja jest taka, że ​​pasmo powinno być iloczynem dolnoprzepustowego i górnoprzepustowego. Jednak ten produkt ma inną funkcję przenoszenia:$$ \frac{\omega_1}{s + \omega_1} \frac{s}{s + \omega_2} = \frac{\omega_1 s}{s^2 (\omega_1 + \omega_2) s + \omega_1 \omega_2}, $$ co wskazuje, że transformacja pasmowoprzepustowa nie daje tej kaskady dolnoprzepustowej i górnoprzepustowej.

• Moje pytanie brzmi: w jaki sposób zaprojektowano transformację pasmowoprzepustową, czy to łącząc filtry dolnoprzepustowe, czy przez umieszczenie biegunów?

• Powiązane pytanie, ale przy użyciu innej techniki wyprowadzania i odniesienie do wyprowadzania dolnoprzepustowego / górnoprzepustowego, ale nie zostało pokazane: W jaki sposób wyprowadzana jest transformacja dolnoprzepustowa do pasmowoprzepustowej?

Answer 1

Masz rację, że mnożenie filtra dolnoprzepustowego i górnoprzepustowego skutkuje filtrem pasmowym, o ile częstotliwość odcięcia dolnoprzepustowego jest wyższa niż częstotliwość odcięcia górnoprzepustowego. Problem z tym podejściem polega na tym, że filtry dolnoprzepustowe i górnoprzepustowe z odpowiedziami wielkości, które są optymalne według wybranego kryterium (Butterworth, Chebyshev, Cauer), nie dadzą optymalnego filtra pasmowego.

Z drugiej strony mapowanie jednego optymalnego filtru da w wyniku inny optymalny filtr. Za pomocą$\omega_l\omega_u=\omega_0^2$, gdzie $\omega_l$ i $\omega_u$ są odpowiednio dolnymi i górnymi krawędziami pasma oraz $\omega_0$ jest częstotliwością środkową filtru pasmowoprzepustowego i pomijając stałe ze względu na prostotę, transformację można zapisać jako

$$s\longmapsto \frac{s^2+\omega_0^2}{s}\tag{1}$$

[Uwaga $\omega_l$ i $\omega_u$ są oznaczone jako $\omega_1$ i $\omega_2$ w PO, ale na poniższym rysunku są używane w inny sposób.]

Mapowanie $(1)$ mapy DC ($\omega=0$) na żądaną częstotliwość środkową $\omega_0$. Ponadto,$s=\pm\infty$ jest zmapowany do $s=0$ i $s=\infty$. Zatem cała oś częstotliwości filtra dolnoprzepustowego jest odwzorowywana na dodatnią oś częstotliwości filtra pasmowego. (To samo dotyczy ujemnej połowy osi filtra środkowoprzepustowego):

(z: Digital Filter Design autorstwa Parks and Burrus)