Żądanie referencyjne: Wielowymiarowe uogólnienie podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego
$\newcommand\R{\mathbb R}$Pozwolić $f\colon\R^p\to\R$być funkcją ciągłą. Dla$u=(u_1,\dots,u_p)$ i $v=(v_1,\dots,v_p)$ w $\R^p$, pozwolić $[u,v]:=\prod_{r=1}^p[u_r,v_r]$; $u\wedge v:=\big(\min(u_1,v_1),\dots,\min(u_p,v_p)\big)$; $u\vee v:=\big(\max(u_1,v_1),\dots,\max(u_p,v_p)\big)$; $$\int_u^v dx\, f(x):= (-1)^{\sum_{r=1}^p\,1(u_r>v_r) }\int_{[u\wedge v,u\vee v]}dx\,f(x).$$ Pozwolić $F\colon\R^p\to\R$ być dowolną funkcją pierwotną $f$w tym sensie $$D_1\cdots D_p F=f,$$ gdzie $D_j$ jest operatorem częściowego zróżnicowania względem $j$th argument; Zakłada się, że wynik tego powtarzającego się częściowego zróżnicowania nie zależy od kolejności argumentów, dla których brane są pochodne cząstkowe. Pozwolić$[p]:=\{1,\dots,p\}$. Do każdego zestawu$J\subseteq[p]$, pozwolić $|J|$ oznaczają liczność $J$.
Wtedy nie jest trudno ustalić następujące wielowymiarowe uogólnienie podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego ( Lemat 5.1 ): \ begin {equation} \ int_u ^ v dx \, f (x) = \ sum_ {J \ subseteq [p]} ( -1) ^ {p- | J |} F (v_J), \ end {equation} gdzie$v_J:=\big(v_1\,1(1\in J)+u_1\,1(1\notin J),\dots,v_p\,1(p\in J)+u_p\,1(p\notin J)\big)$.
Czy ktoś widział to lub podobne stwierdzenie gdzie indziej? (Pytam tylko o referencje, a nie o dowody).
Odpowiedzi
W przypadku tak elementarnego faktu, który mógł być wymyślany na nowo tysiące razy, trudno jest znaleźć pierwszą publikację, w której się to pojawiło. Pozwólcie jednak, że podam trochę brakującego kontekstu. W konstruktywnej kwantowej teorii pola i mechanice statystycznej istnieje cała branża związana z pokrewnymi „inteligentnymi” wzorami interpolacyjnymi lub wzorami Taylora z całkowitymi resztami. Są one używane do wykonywania tak zwanych ekspansji klastra . Jeśli chodzi o tożsamość PO, nie ma utraty ogólności w przyjmowaniu$u=(0,0,\ldots,0)$ i $v=(1,1,\ldots,1)$. W tym przypadku, poprzez inwersję Möbiusa w sieci boolowskiej , wzór pochodzi z następującej tożsamości.
Pozwolić $L$być zbiorem skończonym. Pozwolić$f:\mathbb{R}^L\rightarrow \mathbb{R}$, $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}\mapsto f(\mathbf{x})$ być wystarczająco płynną funkcją i niech $\mathbf{1}=(1,\ldots,1)\in\mathbb{R}^L$, następnie $$ f(\mathbf{1})=\sum_{A\subseteq L}\int_{[0,1]^A}d\mathbf{h} \left[\left(\prod_{\ell\in A}\frac{\partial}{\partial x_{\ell}}\right)f\right](\psi_A(\mathbf{h})) $$ gdzie $\psi_A(\mathbf{h})$ jest żywiołem $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}$ z $\mathbb{R}^L$ zdefiniowane z elementu $\mathbf{h}=(h_{\ell})_{\ell\in A}$ w $[0,1]^A$ według zasady: $x_{\ell}=0$ gdyby $\ell\notin A$ i $x_{\ell}=h_{\ell}$ gdyby $\ell\in A$. Oczywiście trzeba 1) zastosować to do wszystkich$L$które są podzbiorami $[p]$, 2) użyć inwersji Möbiusa w sieci boolowskiej i 3) wyspecjalizować się $L=[p]$, a to daje tożsamość PO.
Powyższa formuła jest najbardziej naiwną formułą używaną do ekspansji klastra „parą kostek”. Zobacz wzór III.1 w artykule
A. Abdesselam i V. Rivasseau, „Drzewa, lasy i dżungle: ogród botaniczny dla ekspansji klastrów” .
Jest to również wyjaśnione słowami na stronie 115 książki
V. Rivasseau, „Od perturbacyjnej do konstruktywnej renormalizacji” .
Teraz formuła jest szczególnym przypadkiem o wiele potężniejszym, a mianowicie lematem 1 w
A. Abdesselam i V. Rivasseau, "Wyraźna ekspansja klastrów wieloskalowych na duże i małe pola" ,
gdzie sumuje się ponad „dozwolone” sekwencje $(\ell_1,\ldots,\ell_k)$ o dowolnej długości elementów $L$, zamiast podzbiorów $L$. Pojęcie dozwolonego opiera się na arbitralnej zasadzie zatrzymania. Powyższa tożsamość oznacza „dozwolone”$=$„bez powtórzeń” lub zasada zatrzymania, że nie należy halsować na $\ell$na końcu sekwencji, w której już się pojawił. Bawiąc się tego rodzaju wyborem reguły zatrzymania, można użyć lematu 1 mojego artykułu z Rivasseau, aby udowodnić formułę Hermite-Genocchi, anizotropową formułę Taylora Hairera w Dodatku A do „Teorii struktur regularności” i wiele innych rzeczy . Gdy$f$ jest wykładnikiem formy liniowej, na przykład można uzyskać różne tożsamości algebraiczne, jak w postach MO
tożsamość funkcji racjonalnej
Tożsamość obejmująca sumę ponad permutacjami
Zapomniałem wspomnieć, że można użyć Lematu 1, aby wyprowadzić wzór Taylora z rachunku różniczkowego 1. Odpowiada to $L$ posiadanie jednego elementu i definiowanie dozwolonych sekwencji jako tych o maksymalnej długości $n$. Widzieć
https://math.stackexchange.com/questions/3753212/is-there-any-geometrical-intuition-for-the-factorials-in-taylor-expansions/3753600#3753600
Plik $p=2$przypadek wymiarowy to ćwiczenie z podręcznika rachunku Rogawskiego. Jest to ćwiczenie 47 na stronie 885, sekcja 15.1 (Integracja w kilku zmiennych) w wydaniu 2008 Early Transcendentals.