Zestaw rozwiązań $\frac x{x+2}>0\land\frac{x+1}{x+2}<1$ [Zamknięte]

Question

Dobra ludzie, $\Im$głupi. Pracowałem nad tym dosłownie 2 dni, ale nadal nie mogę tego zrozumieć.

Oto pytanie: $$\frac x{x+2}>0\land\frac{x+1}{x+2}<1$$Jaki jest zestaw rozwiązań? [Odpowiedź to$(0,\infty)$]

Znalazłem pierwsze środki nierówności $x > 0$ a drugi mówi $x > -2$ ale to nie daje rozwiązania podanego przez mojego wykładowcę, którym jest $(0,\infty)$.

Answer 1

Problem z twoim rozumowaniem polega na tym, że kiedy pomnożymy przez liczbę ujemną, znak nierówności się zmienia. Dlatego nie jest to prawdą$x > 0$dla wszystkich prawdziwych $x$, ale tylko kiedy $x + 2 > 0$.

W pierwszej części radzę podzielić na sprawy. Gdy$x + 2 > 0$rozumiesz $x > 0$. Ale kiedy$x + 2 < 0$, a następnie pomnożenie przez $x+2$ po obu stronach daje:

$$x \color{red}{<} x+2 $$

co jest prawdą dla wszystkich $x$w stanie. Dlatego możliwe wartości$x$ są $x > 0, x < -2$.

W drugiej części $-\frac{1}{x+2} < 0$jest poprawne, więc możesz kontynuować. Stąd pomnóż przez$-1$ dostać:

$$\frac{1}{x+2} \color{red}{>} 0$$

a teraz użyj podobnej metody, aby znaleźć możliwe wartości $x$.

Answer 2

Najlepszym sposobem rozwiązania tego rodzaju nierówności nie jest podział na różne przypadki, ale na $\underline{\text{combine the fractions}}$.

Twoja pierwsza nierówność: $$\frac{x}{x+2} >0 \iff x(x+2)>0 \iff x \in (-\infty, -2)\cup (0, \infty) \tag 1$$

Twoja druga nierówność: $$\frac{x+1}{x+2} < 1 \iff \frac{x+1}{x+2}-1 = - \frac{1}{x+2} < 0 \iff x+2 >0 \tag 2$$

Połącz (1) i (2), które otrzymasz $x>0$.

Aby zapoznać się z innym przykładem, zobacz Rozwiązywanie podstawowych nierówności

Answer 3

ok, więc najpierw rozważmy pierwszą nierówność: $$\frac{x}{x+2}>0\tag{1}$$ aby to też było prawdą $x>0$ więc góra i dół są dodatnie lub możemy mieć $x<-2$ a więc rozwiązaniem tej nierówności byłoby $x\in(-\infty,-2)\wedge(0,\infty)$.

---

Teraz po drugie: $$\frac{x+1}{x+2}<1\tag{2}$$ $$1-\frac{1}{x+2}<1$$ $$-\frac 1{x+2}<0$$ $$\frac{1}{x+2}>0$$ iz tego jasno wynika, że ​​rozwiązaniem jest $x>-2$ a więc: $x\in(-2,\infty)$. Teraz, aby oba były jednocześnie prawdziwe, musimy dowiedzieć się, gdzie te domeny się nakładają, co by było$x\in(0,\infty)$