Znajdowanie przepisanego otoczenia na rozgałęzieniu

Aug 15 2020

Biorąc pod uwagę gładką kolektor, udowodnij to dla zbioru otwartego $U\subset M$ zawsze możemy znaleźć zamknięty zestaw $\bar{B}\subset U$ takie że $B$ to sąsiedztwo pewnego punktu $p\in U$.

Moja próba: od $M$ ma podstawę zwykłych piłek, istnieje $B\subset U$ która jest zwykłą piłką, więc istnieje inna $B'$ takie że $\bar{B}\subset B'$. Ale jak to pokazać, jest zawarte w$U$?

Odpowiedzi

2 AlekosRobotis Aug 15 2020 at 20:29

Wybierać $p\in U$ i wybierz piłkę ze współrzędnymi $V\ni p$ z $V\subseteq U$. Możemy wybrać tę piłkę tak, aby pojawił się dyfeomorfizm$\phi:V\to B_r(0)\subseteq \Bbb{R}^n$Następnie ustaw $W=\phi^{-1}(B_{r/2}(0))$, a następnie zanotuj to $\overline{W}\subseteq U$ i to $W$ to sąsiedztwo $p$.

Uwaga: pierwszy wybór $V$ jest możliwe, ponieważ istnieje baza współrzędnych zbiorów otwartych.