Znajdź funkcję $f$ takie że $\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ istnieje, ale $ \lim_{x\to{}0}{f(x)}$nie. [duplikować]

Question

Kontekst:

Odświeżam trochę analizy i obecnie przechodzę ćwiczenia z książki M. Spivaka Calculus, a konkretnie w rozdziale 5 dotyczącym granic. Wszystko szło dobrze, dopóki nie natknąłem się na to pytanie. Myślałem o tym od jakiegoś czasu bez powodzenia.

Pytanie: „Podaj przykład gdzie$\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ istnieje, ale $\lim_{x\to{}0}{f(x)}$ nie."

Moje próby:

Pokazało to poprzednie pytanie $\lim_{x\to{}0}{f(x^3)}=\lim_{x\to{}0}{f(x)}$, co moim zdaniem działa, ponieważ możemy znaleźć trzeci pierwiastek z dowolnej liczby rzeczywistej (co było przydatne w przypadku epsilon - dowód delta). Co sprawia, że ​​wierzę, że powyższe zawodzi, ponieważ nie możemy pierwiastkować ujemnych liczb rzeczywistych. To doprowadziło mnie do zabawy z funkcjami angażującymi$\sqrt{x}$ i wykorzystując jego „nieokreśloność” na negatywach.

Zacząłem od $f(x)=\sqrt{x-1}$ który wyraźnie ma nieokreślony limit na $0$. Ale to oczywiście nie jest inaczej (biorąc pod uwagę limit na$0$ to jest aby $f(x^2)$.

Jakieś wskazówki? Czuję się, jakbym przeoczył coś tak prostego.

Answer 1

$$\begin{align}f\colon \Bbb R\setminus\{0\}&\to \Bbb R\\x&\mapsto \frac x{|x|}\end{align}$$

Answer 2

Wymyśliłem inny przykład, choć po obejrzeniu odpowiedzi Hagona von Eitzena.

Możemy wybierać $f(x)=\text{floor}(x)$.