Znajdź podgrupę $S_5$ izomorficzny do kwaternionu $Q$ [duplikować]

Nov 24 2020

Próbuję rozwiązać ten problem z mojego kursu algebry abstrakcyjnej:

Znajdź podgrupę $S_5$ (Symetryczna grupa rzędu 5) izomorficzna z grupą kwaternionów $Q$.

Zacząłem spisywać elementy $Q$ aby zacząć wypróbowywać kilka przykładów i sprawdzić, czy właściwości kwaternionów zostały zweryfikowane: $$Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm j\}.$$ Oczywiście żywioł $1$ jest $(1)(2)(3)(4)(5)$ w $S_5$.

Następnie spróbowałem z: $$i=(1234)(5)\ \ , \ \ -i=(1432)(5).$$

Obie sprawdzają, czy mają porządek $5$i od nich otrzymuję $-1=(13)(24)(5)$. Teraz utknąłem, ponieważ myślę, że wybieram niewłaściwe elementy, ponieważ nie mogę znaleźć dobrych elementów$\pm j$ i $\pm k$. Jaki jest najłatwiejszy sposób rozwiązania tego rodzaju problemu, w którym pojawia się prośba o znalezienie podgrupy izomorficznej dla określonej grupy?

Każda pomoc zostanie doceniona.

Odpowiedzi

6 runway44 Nov 24 2020 at 18:38

To nie będzie możliwe. Najmniejsze wierne działanie permutacji$Q_8$jest zwykły. Oznacza to najmniejszą symetryczną grupę zawierającą$Q_8$ jak podgrupa $S_8$.

Aby to zobaczyć, zwróć uwagę, czy istnieje podgrupa $H\subseteq S_n$ izomorficzny do $Q_8$, następnie $X=\{1,\cdots,n\}$ wykonuje akcję grupową od $H$. Zgodnie z twierdzeniem o stabilizatorze orbity, jeśli to działanie jest przechodnie, musi być równoważne działaniu na kosmos$H/K$, co jest równoważne z $Q_8$ działając dalej $Q_8/N$ dla jakiejś podgrupy $N\le Q_8$. Ale każda podgrupa$Q_8$ jest normalne, po inspekcji, więc takie działania grupowe byłyby niewierne, chyba że jądro $N$jest trywialne. Gdyby$X$ nie jest przechodnia, to jest sumą nieregularnych orbit, ale ponieważ każda właściwa podgrupa $Q_8$ zawiera element centralny $-1$, wiemy $-1$ musi być w jądrze tej akcji, więc znowu nie jest wierny.

Alternatywnie możemy znaleźć $2$-Sylow podgrupy $S_n$ i porównaj z $Q_8$. W końcu jeśli$S_n$ zawierał izomorficzną kopię pliku $Q_8$, to musiałby być zawarty w pliku $2$-Sylow wielkości co najmniej $2^3$. Dla$n=4$ i stąd też $n=5$ the $2$-Sylow to grupa dwuścienna $D_8$ zamówienia $2^3$ który nie jest izomorficzny $Q_8$. Rzeczywiście$n=6$ i stąd też $n=7$ the $2$-Sylow jest $D_8\times C_2$ (zawarte w $S_4\times S_2$), który nie ma pary niekomutujących inwolucji generujących kopię $Q_8$.

A zatem $S_8$ jest najmniejszą symetryczną grupą zawierającą $Q_8$ (która jest reprezentacją permutacji zapewnianą przez lewą czynność regularną, jak zastosowano w twierdzeniu Cayleya).