Znajdź średnią z liczby $n \sin n^\circ$ dla $n=2,4,6\cdots,180$ [duplikować]
Na egzaminie poproszono mnie o określenie średniej z liczby: $$n \sin n^\circ$$ dla $n$=$2,4,6,\cdots,180$
Wiele próbowałem w zasadzie z iloczynem sumarycznym lub parowaniem wejść ... ale na końcu nie jestem w stanie znaleźć żadnego sposobu, aby to rozwiązać, czy ktoś może mi pomóc w tym podejściu?
Odpowiedzi
Od $\sin(180^\circ - \theta) = \sin(\theta)$, $\sin{90^\circ} = 1$, i $\sin{180^\circ} = 0$, możemy zapisać sumę jako $$ (2 \sin{2^\circ} + 178 \sin{2^\circ}) + (4 \sin{4^\circ} + 176 \sin{4^\circ}) + \ldots + (88 \sin{88^\circ} + 92 \sin{88^\circ}) + 90\text. $$
Aby uzyskać średnią, podziel przez liczbę terminów, $90$, i dostać $$ 2 \sin{2^\circ} + 2 \sin{4^\circ} + \ldots + 2 \sin{88^\circ} + 1\text.\tag{*} $$
Teraz, $\cos(\theta - 1^\circ) - \cos(\theta + 1^\circ) = 2 \sin\theta \sin 1^\circ$. W związku z tym,$$ 2\sin\theta = \frac{\cos(\theta - 1^\circ) - \cos(\theta + 1^\circ)}{\sin{1^\circ}}\text.\tag{**} $$
Po podłączeniu $\text{(**)}$ w $\text{(*)}$, większość $\cos$ warunki anulują się i zostajesz z $$ \frac{\cos{1^\circ} - \cos{89^\circ}}{\sin{1^\circ}} + 1 = \frac{\cos{1^\circ} - \sin{1^\circ}}{\sin{1^\circ}} + 1 = \color{red}{\cot{1^\circ}}\text. $$
\begin{align} \sum_{r=1}^{90}2r\sin\left(\dfrac{2r\pi}{180}\right)&=2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)+2\sum_{r=1}^{45}(90-r)\sin\left(\pi-\dfrac{r\pi}{90}\right)\\ &=2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)+180\sum_{r=1}^{45}\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)-2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)\\ &=180\times\sum_{r=1}^{45}\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right) \end{align} Teraz zastosuj sumę sinusa wzoru AP i gotowe!