Znalezienie funkcji, którą jest odległość $1$ od $x^2$ wzdłuż jego normalnych [duplikat]

Dec 01 2020

Więc niedawno pomyślałem o problemie, który próbowałem rozwiązać na wiele sposobów, ale nie mogłem. Bardzo łatwo to opisać ...

Znajdź funkcję, którą jest odległość $1$ z paraboli $y=x^2$wzdłuż jej normalnych. Wizualne, o co mi chodzi .


To jedna z rzeczy, których próbowałem ...

Ta funkcja otrzyma odpowiedni plik $x$ wartość funkcji, którą chcemy znaleźć z pliku $x$ wartość na krzywej $y=x^2$. Odwrotność dałoby odpowiednie$x $ wartość na $x^2$ na dany $x$ wartość, która sprawiłaby, że określenie $y$ wartość. $$ f(x)=x+\sin(\arctan(2x)) $$ Można to rozwiązać w ten sposób ... $$ f(x)=x+\frac{2x\sqrt{1+4x^2}}{1+4x^2} $$ Jednak nie wiem, jak uzyskać odwrotność tej funkcji.

Odpowiedzi

martycohen Dec 01 2020 at 09:45

$(f-x)=2x/\sqrt{1+4x^2}$ więc $(f-x)^2(1+4x^2)=4x^2$ lub, według Wolfy, $4 f^2 x^2 + f^2 - 8 f x^3 - 2 f x + 4 x^4 - 3 x^2 = 0$.

To jest kwartyk w $x$ który można rozwiązać, ale zgodnie z oczekiwaniami jest niesamowicie bałaganiarski.

Raffaele Dec 01 2020 at 11:52

Znalazłem równania parametryczne miejsca

$$ \begin{cases} x=2 t^3-\frac{8 t^5}{4 t^2+1}-\frac{2 t^3}{4 t^2+1}+t +\frac{2 t}{\sqrt{4 t^2+1}}\\ y= \frac{4 t^4+t^2-\sqrt{4 t^2+1}}{4 t^2+1}\\ \end{cases} $$


Narasimham Dec 01 2020 at 12:33

Możemy modyfikować, odsuwając od standardowej parametryzacji. Używany$ f=1, r= (-0.2,0,+0.2)$ na wykresie (dla przejrzystości wykresu zastosowano przesunięcie 0,2 zamiast 1,0).

f = 1; r = 0;
g1 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic]
 r = 0.2;
g2 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  PlotStyle -> {Thick, Blue}]
r = -0.2;
g3 = ParametricPlot[{2 f t, f t^2} + 
   r {-t/Sqrt[1 + t^2], 1/Sqrt[1 + t^2]}, {t, -1, 1}, 
  GridLines -> Automatic, PlotStyle -> {Thick, Red}]
Show[{g1, g2, g3}, PlotRange -> All]

Dodajemy lub usuwamy odległości wzdłuż normalnej i stycznej z odsunięciem $r$ $$ (x,y)= ( 2 f t,f t^2 ) ;\; t = \tan \phi $$

$$ x_1= x - r \sin \phi, y_1= y+ r \cos \phi $$