Znalezienie maksimum $x+y+z$ [Zamknięte]

Nov 28 2020

Jeśli liczby dodatnie $x, y$ i $z$ zaspokoić to $xyz=1$, jaka jest minimalna wartość $x+y+z$?

Od $xyz=1$, Możemy dostać $$x = \frac{1}{yz};\space\space\space y = \frac{1}{xz};\space\space\space z = \frac{1}{xy}; $$

Zastąp je w $x+y+z=1$ i mam$$\frac{xy+yz+xz}{xyz} = xy+yz+xz = 1$$

Ponieważ znajdujemy minimum dla $x+y+z$, Myślałem o użyciu wzoru $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$ ze względu na to, że mamy wartość $xy+yz+xz$.

To wszystko, co mam do tej pory. Jak mogę kontynuować?

Odpowiedzi

2 Jethalal Nov 28 2020 at 22:13

Użyj nierówności AM-GM,

$$\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt [3]{xyz}$$

$$x+y+z \ge 3$$

Minimum to $3$ i nie ma maksimum.

1 YvesDaoust Nov 28 2020 at 22:05

Według geometrii:

Powierzchnia równania $xyz=1$(nie znam jej nazwy) jest sześcienny o kształcie "hiperbolicznym", ponieważ każdy przekrój przez płaszczyznę jednej stałej współrzędnej jest hiperbolą. Ma symetrię porządku$3$ wokół osi $x=y=z$i jest otwarta na nieskończoność.

Sekcje przy samolocie $x+y+z=c$ są zamkniętymi krzywymi, zaczynając od $c=3$ i powiększa się monotonnie i bez ograniczeń.

Minimum to $c=3$ i nie ma maksimum.