Związek pomiędzy $H^1(X, \mathbb{T})$ i złożone pakiety linii

Question

Pozwolić $X$ być zwartą przestrzenią metryczną i rozważ grupę kohomologii snopków $H^1(X, \mathbb{T})$. Z klasy w$H^1(X, \mathbb{T})$, Mogę dostać zleceniodawcę $\mathbb{T}$-pakiet się $X$i na tej podstawie powiązana złożona wiązka linii. Jaki jest związek między klasami w$H^1(X, \mathbb{T})$i złożone pakiety linii? Czy jedna klasa daje mi ten sam pakiet linii aż do izomorfizmu?

Answer 1

Przynajmniej jeśli $X$ ma typ homotopii kompleksu CW, pomiędzy nimi występuje naturalny izomorfizm $H^1(X; \mathbb T)$ oraz grupa klas izomorfizmu wiązek linii na $X$ pod iloczynem tensora.

Zwykle jest to wyrażane w ten sposób, że pierwsza klasa Cherna definiuje izomorfizm z grupy wiązek linii do $H^2(X;\mathbb Z)$. Na przykład, aby uzyskać dowód, zobacz Hatcher, „Pakiety wektorowe i$K$-teoria, Prop. 3.10 (s. 86).

Rozważmy teraz krótką dokładną sekwencję snopów

$$0\to \mathbb Z\to\mathbb R\to\mathbb R/\mathbb Z\to 0,$$

gdzie $\mathbb R$ przenosi ciągłą topologię (tj. jest to snop ciągłych funkcji o wartościach rzeczywistych) $X$). Mamy$\mathbb R/\mathbb Z\cong\mathbb T$. W kohomologii występuje długa, dokładna sekwencja, ale jak zauważa Donu Arapura w odpowiedzi na inne pytanie MathOverflow ,$H^k(X;\mathbb R)$ znika za $k > 0$. Dlatego długa dokładna sekwencja upraszcza się do

$$ 0 \to H^1(X; \mathbb T)\longrightarrow H^2(X; \mathbb Z)\to 0, $$

więc $H^1(X;\mathbb T)$jest izomorficzny z grupą wiązek linii. Potrzeba trochę więcej pracy, aby zobaczyć, że izomorfizm jest taki sam, jak opisana mapa (powiązana wiązka linii z podmiotem$\mathbb T$-bundle), ale to też prawda.

---

Nie wszystkie zwarte przestrzenie metryczne mają typ homotopii kompleksów CW, jak zauważył Milnor (koniec sekcji 1). Niestety nie wiem, jaka jest odpowiedź na twoje pytanie dla tych przestrzeni.