แฟร็กทัลและมิติของมัน

แฟร็กทัลเป็นรูปทรงที่แปลกประหลาดที่แสดงระเบียบและรูปแบบในการออกแบบที่วุ่นวาย มีเส้นโค้งที่น่าสนใจมากมาย รูปแบบที่น่าสนใจเหล่านี้ได้รับการศึกษาเป็นรายบุคคลเนื่องจากมีคุณสมบัติเฉพาะตัว หนึ่งในนั้นคือสามเหลี่ยมเซี ยร์ปิ นสกี้

สามเหลี่ยม Sierpinski โดยพื้นฐานแล้วเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่รูป (ดังที่แสดงในภาพด้านล่าง) และสามเหลี่ยมกลางจะถูกลบออก จากนั้นสามเหลี่ยมย่อยเหล่านั้นจะถูกแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่สามเหลี่ยมอีกครั้งในทำนองเดียวกัน และสามเหลี่ยมกลางจะถูกลบออก กระบวนการนี้วนซ้ำไปเรื่อยๆ และในกระบวนการนี้ สามเหลี่ยมเชิงซ้อนที่ได้รับคือสามเหลี่ยมเซียร์ปินสกี้ ทีนี้ ถ้าในรูปสามเหลี่ยมของปาสคาล เลขคี่ทั้งหมดจะเป็นสีดำ และเลขคู่จะเป็นสีขาว ในที่สุดคุณก็จะได้สามเหลี่ยมเซียร์ปินสกี้ คาดไม่ถึงใช่ไหม?

แฟร็กทัลไม่ได้เป็นเพียงรูปร่างหรือรูปแบบแบบสุ่มที่สร้างขึ้นทางคณิตศาสตร์เท่านั้น นอกจากนี้ยังเห็นในกราฟประชากร พบว่าอาหารเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรง แต่ประชากรเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ ต่อมาพบว่าประชากรไม่ได้เพิ่มขึ้นในลักษณะนี้ มันเพิ่มขึ้นสองสามปี จากนั้นเนื่องจากการขาดแคลนอาหารและทรัพยากร มันก็ลดลงอีกครั้ง การเปลี่ยนแปลงประชากรนี้เป็นไปตามฟังก์ชันง่ายๆ

[ให้สมการข้างต้นถูกระบุว่าเป็น (1)]

โดยที่ X คือจำนวนประชากรของปีปัจจุบัน และ X_next คือจำนวนประชากรของปีหลังจาก X และ r คือค่าคงที่ซึ่งสามารถปรับเปลี่ยนได้ตามจำนวนประชากรที่จำลอง สำหรับการสังเกตพฤติกรรมระยะยาวของระบบ สูตรนี้ถูกทำซ้ำครั้งแล้วครั้งเล่าและเพื่อดูว่าเกิดอะไรขึ้น กระบวนการนี้เรียกว่าการวนซ้ำ

สมการ (1) พล็อตโดยใช้ 'r' เป็น 3.5 และสมมติด้วยสถานการณ์สมมุติว่าค่าของ X อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 เท่านั้น และวนซ้ำไปเรื่อยๆ ต่อไปนี้เป็นกราฟที่ได้รับ:

กราฟนี้ถือเป็นแฟร็กทัลเนื่องจากแสดงคุณสมบัติของความคล้ายคลึงกันในตัวเอง เมื่อคุณซูมเข้าไปใน 'หน้าต่างลำดับ' ของกราฟ ซึ่งเป็นช่องว่างกว้างในกราฟ คุณจะสังเกตเห็นกราฟเดิมปรากฏขึ้นอีกครั้งในหน้าต่างนั้น ยิ่งคุณซูมเข้าไปมากเท่าไหร่ คุณก็จะพบกราฟเดิมซ้ำแล้วซ้ำอีกในหน้าต่างแห่งความโกลาหล เศษส่วนนี้ถูกเรียกว่า 'ต้นมะเดื่อ'

ดังที่ฉันได้กล่าวไว้ในบทความก่อนหน้าของฉัน Fractals เป็นรูปร่างที่หยาบและไม่สม่ำเสมอ ความหยาบและความผิดปกตินี้สามารถคำนวณได้ง่าย ยังไง? โดยการคำนวณมิติเศษส่วนของพวกเขา Felix HausdorffและAbram Besicovitchพบว่าเศษส่วนมีขนาดที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม พวกเขาอธิบายว่าเศษส่วนเป็นเส้นโค้งที่มีมิติระหว่างมิติจำนวนเต็ม มิติเศษส่วนเหล่านี้จึงเรียกอีกอย่างว่ามิติเฮาส์ดอร์ฟฟ์-เบซิโควิตช์ แต่จะคำนวณขนาดเหล่านี้ได้อย่างไร? มีสองวิธีหลักที่สามารถใช้ในการคำนวณขนาดได้อย่างง่ายดาย

หนึ่งโดยใช้คุณสมบัติของความคล้ายคลึงตนเองที่แฟร็กทัลมีอยู่ มาสร้างรูปร่างด้วยขนาดที่รู้จัก 1,2 และ 3 สำหรับมิติที่ 1 ลองใช้เส้นที่มีความยาว 1 หน่วยแล้วลดขนาดลงเหลือ 1 ใน 4 ของความยาวเดิม ดังนั้น ตอนนี้ความยาวคือ 1/4 หน่วย เพื่อให้ได้ความยาวเดิม เราต้องคูณ 1/4 ของเส้นสี่ครั้ง ให้ตัวประกอบ เส้นลดขนาดลงเป็น 's' จำนวนที่คูณ 's' เพื่อให้ได้ความยาวเดิมเป็น 'n' และขนาดเป็น 'D' ดังนั้น คุณจะสังเกตเห็นว่าในกรณีนี้

สูตรนี้ใช้ได้กับทุกมิติ สมมติว่าเราพยายามพิสูจน์โดยใช้พื้นที่ของรูปทรง 2 มิติ ดังนั้น ให้เราลดขนาดแต่ละด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยมีความยาวหน่วยเป็น 1/2 ของความยาวเดิม เพื่อให้พื้นที่ของจัตุรัสลดลงตาม 1/4 ดังนั้น เพื่อให้ได้กำลังสองเดิมกลับมา เราต้องคูณกำลังสองที่ลดขนาดลง 4 เท่า

ดังนั้น D = 2 ซึ่งเป็นมิติที่ต้องการ
ในทำนองเดียวกัน สามารถพิสูจน์รูปร่าง 3 มิติได้

ดังนั้น สมการทั่วไปที่พบคือ

สมการ (2) เป็นหนึ่งในสูตรที่ใช้หามิติเศษส่วนของรูปร่างได้ ทีนี้ สมมติว่าเราใช้ Koch curve

ด้วยค่าที่กำหนดข้างต้นของ n และ s ถ้าเราพยายามคำนวณขนาดเศษส่วนด้วยสมการ (2) เราจะได้ค่าประมาณ 1.26 นี่คือมิติของเศษส่วน Koch curve

สอง โดยใช้วิธีนับตาราง.
ในวิธีนี้ คุณต้องวาดกริดบนภาพเศษส่วน โดยแต่ละช่องในนั้นจะมีสเกล 1 หน่วย จากนั้นวาดตารางอีกครั้ง แต่แต่ละกล่องมีสเกล 1/2 ในครั้งนี้ อีกครั้งโดยแต่ละกล่องมีสเกล 1/4 นับจำนวนกล่องที่เศษส่วนผ่าน คุณสามารถคำนวณมิติโดยใช้สูตรต่อไปนี้

โดยที่ n( ) คือจำนวนของช่องสี่เหลี่ยมที่มีรูปภาพ และ 1/s คือสเกลกริด เราสามารถคำนวณ Dimension ของเส้นโค้ง Koch ได้แล้ว กำหนดด้านล่างเป็นตารางมาตราส่วนสามตารางในอัตราส่วน 1 : 1/2 : 1/4 จากการนับพบว่าจำนวนกล่องของกริดที่หนึ่ง สอง และสามคือ 18, 41 และ 105 ตามลำดับ

การคำนวณขนาดโดยใช้ตารางมาตราส่วน 1 และ 1/2

การคำนวณขนาดโดยใช้ตารางมาตราส่วน 1 และ 1/4

การคำนวณขนาดโดยใช้ตารางมาตราส่วน 1/2 และ 1/4

เมื่อหาค่าเฉลี่ยทั้ง 3 ค่า พบว่ามีค่าประมาณ 1.27 ซึ่งใกล้เคียงกับ 1.26 ซึ่งเป็นมิติดั้งเดิมของเส้นโค้ง Koch

ดังนั้น นี่เป็นสองวิธีง่ายๆ ที่คุณสามารถคำนวณมิติเศษส่วนของภาพเศษส่วนได้