หลักฐานง่ายๆ

เลขคู่บวกเลขคู่ทำให้เป็นเลขคู่

เลขคี่บวกเลขคี่ทำให้เป็นเลขคี่

คี่บวกคู่ทำให้คี่

คุณอาจได้รับการสอนกฎง่ายๆ ในโรงเรียนประถม ฉันเคยเป็น. และดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ลองใช้สองสามครั้งโดยใช้ตัวเลขที่แตกต่างกันเล็กน้อยและใช้งานได้เสมอ (ถ้าไม่ได้ผล ให้ตรวจสอบงานของคุณ หากยังไม่ได้ผล ให้เผยแพร่)

แต่มันใช้ได้กับทุกหมายเลขหรือไม่? ไม่ว่าจะใหญ่แค่ไหน?

ความแตกต่างระหว่างคณิตศาสตร์ที่เรามักจะสอนในโรงเรียนกับคณิตศาสตร์ที่นักคณิตศาสตร์ทำคือ:

1. ในโรงเรียน เราได้รับการสอนกฎเหล่านี้เพื่อให้เราสามารถใช้กฎเหล่านั้นเมื่อ 'ทำคณิตศาสตร์'
2. นักคณิตศาสตร์พยายามค้นหาว่ากฎคืออะไร และหาข้อโต้แย้งที่กระชับและสง่างามที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เพื่อแสดงให้เห็นว่าเหตุใดกฎเหล่านั้นจึงเป็นจริง (หรือไม่จริง)

ดังที่ Paul Lockhart อธิบายอย่างโน้มน้าว (และตลกขบขัน) ในเรียงความ A Mathematician's Lament ของเขา ศิลปะในการค้นหาความจริงเป็นทั้งคณิตศาสตร์ที่แท้จริงและสนุกมาก และไม่จำเป็นต้องเป็นหลักฐานที่เป็นทางการและเข้มงวดซึ่งบางครั้งสอนในโรงเรียน เป็นเพียงการมองหารูปแบบและโต้แย้งอย่างสง่างาม

แทนที่จะบอกกฎของผู้เรียนอายุน้อยเกี่ยวกับผลบวกของจำนวนคี่และเลขคู่ จะเป็นอย่างไรหากเราขอให้พวกเขาคิดก่อนว่ากฎนั้นคืออะไร แล้วจึงขอให้พวกเขาหาคำอธิบายว่าทำไมมันถึงเป็นกฎ

ต่อไปนี้คือตัวอย่างประเภทความคิดที่อาจนำไปสู่ ​​'ข้อพิสูจน์' ซึ่งเป็นเพียงหนึ่งในวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้:

ขั้นแรก อย่านับด้วยตัวเลขที่เป็นนามธรรม แต่นับด้วยวัตถุที่จับต้องได้ ในกรณีนี้กำลังสอง นี่คือห้าสี่เหลี่ยม:

[รูปภาพของช่องสี่เหลี่ยมที่วางโดยพลการหลายช่อง]

เนื่องจากจำนวนคู่หมายความว่าสามารถหารด้วยสองได้ เราจึงรู้ว่าเราสามารถจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสจำนวนคู่เป็นสองแถวที่มีความยาวเท่ากัน และปลายจะเป็น 'สี่เหลี่ยมจัตุรัส':

ในทางกลับกัน เลขคี่จะมีจุดสิ้นสุดที่ 'ขาดๆ หายๆ' โดยที่แถวไม่เรียงกัน:

เมื่อจัดเรียงรูปภาพเหล่านี้ใหม่ เราจะเห็นว่ากฎของเราดูเหมือนจะเป็นจริง เลขคู่สองตัววางท้ายจนจบมีเลขคู่

พลิกเลขคี่หนึ่งตัวแล้วติดปลายด้านที่ขาดทั้งสองด้านเข้าด้วยกัน เลขคี่สองตัวก็มีเลขคู่เช่นกัน

แต่หนึ่งคี่และหนึ่งคู่ ไม่ว่าเราจะพลิกและหมุนอย่างไรก็ไม่เคยทำให้เราได้สิ้นสุด

สิ่งนี้จะเป็นจริงไม่ว่าตัวเลขของเราจะยาวแค่ไหน เพราะสิ่งสำคัญคือไม่ว่าปลายจะขาดหรือเหลี่ยม (สิ่งที่สายฟ้าฟาดเหล่านั้นมีขึ้นเพื่อบอกระยะทางโดยพลการ...ลองนึกดูว่ามีสี่เหลี่ยมนับพันอยู่ในนั้น)

คิวอีดี

นี่เป็นข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องหรือไม่? มันสำคัญหรือไม่? เด็กหรือกลุ่มเด็กที่ใช้เวลาคิดหา 'ข้อพิสูจน์' ประเภทนี้ จะพัฒนาความเข้าใจและอาจมีความกระตือรือร้นในวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งการท่องจำจำนวนไม่น้อยจะมอบให้พวกเขาได้ ที่สำคัญพวกเขาจะเริ่มเรียนรู้ว่า “ควรทำอย่างไรเมื่อไม่รู้ว่าต้องทำอะไร” นั่นคือความมั่นใจในการแก้ปัญหาที่คุณไม่เคยเห็นมาก่อน แทนที่จะทำตามขั้นตอนของปัญหาที่คุณมี