อสมการ Cauchy-Schwarz

วัตถุประสงค์ของบทความนี้: การระบุอสมการ อภิปรายการพิสูจน์อย่างง่าย (มีมากมาย) และการประยุกต์บางอย่างในด้านคณิตศาสตร์

Augustin-Louis Cauchy — นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อที่ฉันได้ยินซ้ำแล้วซ้ำอีกนับครั้งไม่ถ้วนตลอดทั้งปริญญาคณิตศาสตร์ของฉัน—ทฤษฎีบทของ Cauchy หรือสูตรอินทิกรัลของ Cauchy, ลำดับ Cauchy, สมการ Cauchy-Riemann, การกระจาย Cauchy ฯลฯ เขาปรากฏตัวอย่างน้อยหนึ่งครั้งเสมอ ในโมดูลใดก็ตามที่ฉันเรียนในมหาวิทยาลัย — วิชาบังคับหรือทางเลือก — โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การวิเคราะห์ แคลคูลัสหลายตัวแปร ทฤษฎีความน่าจะเป็น และในโมดูลเกี่ยวกับพีชคณิต (พีชคณิตเชิงเส้น) และเรขาคณิตไม่กี่โมดูล

จากทฤษฎีบทและผลลัพธ์มากมายของเขา อสมการหนึ่งที่เขาตีพิมพ์คือ อสมการโคชี-ชวาร์ซ (หรืออสมการโคชี-บันยาคอฟสกี-ชวาร์ซ ) First Cauchy เผยแพร่อสมการอย่างง่าย BunyakovskyและSchwarzตามมาโดยเผยแพร่เวอร์ชันที่สมบูรณ์ของความไม่เท่าเทียมกันและเป็นหลักฐานสมัยใหม่

คำแถลง

เรามาว่าด้วยเรื่องอสมการกันดีกว่า

อสมการ Cauchy-Schwarz ระบุว่า

มาแยกย่อยกันให้ถูกต้องเพราะสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ไม่เป็นสากล หลายครั้งที่สัญกรณ์เดียวกันถูกใช้แตกต่างกันในหลายๆ แห่ง ขึ้นอยู่กับบริบทของแนวคิดทางคณิตศาสตร์

บรรทัดฐานแบบยุคลิดหรือความยาว หรือขนาดของ

แสดงโดย |x| และถูกกำหนดโดย

ในบริบทและสาขาวิชาอื่น ๆ สัญกรณ์ ||x|| ใช้แทน |x|

ทิศทาง ของเวกเตอร์ x ที่ไม่เป็นศูนย์ถูกกำหนดให้เป็นเวกเตอร์หน่วย x / |x| ความสัมพันธ์ที่ชัดเจน

เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ของคำจำกัดความอย่างไม่เป็นทางการของเวกเตอร์ (ไม่ใช่ศูนย์) เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง (*โปรดทราบว่าเวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทาง)

ระยะห่างแบบยุคลิดระหว่างเวกเตอร์ x และ y ใน R^n ถูกกำหนดเป็น

ผลคูณภายในแบบยุคลิด xy หรือที่เรียกว่าผลิตภัณฑ์ดอทและผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ x, y ที่อยู่ใน R^n ถูกกำหนดเป็น

สัญลักษณ์อื่นๆ สำหรับ xy ได้แก่ (x, y) และ <x, y> จากคำจำกัดความข้างต้นจะเห็นว่า

ดังนั้น อสมการโคชี-ชวาร์ซ

หรือเพื่อให้เกิดความสับสนน้อยลง

เขียนใหม่ได้เป็น

การพิสูจน์

ทีนี้มาพิสูจน์กัน มีวิธีเล็กๆ ง่ายๆ มากมายในการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันนี้ ฉันจะพูดถึงหนึ่งในนั้นในบทความนี้

อันดับแรก เราหาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว x, y ที่เป็นของ R^n

ให้ f(k) เป็นฟังก์ชันที่กำหนดเป็น

(ky — x) ก็เป็นเวกเตอร์เช่นกัน เรารู้ว่าความยาวของเวกเตอร์จริงใดๆ เป็นบวกเสมอ เพราะความยาวคือค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์ ซึ่งหมายความว่ามันคือรากของกำลังสอง ดังนั้น ความยาวของเวกเตอร์จริงใดๆ จะมากกว่าหรือเท่ากับ 0 เสมอ

ดังนั้น,

เรารู้ว่าถ้าเราหาเวกเตอร์ v ใดๆ

ดังนั้นสำหรับเวกเตอร์ (ky — x)

เรารู้ว่าดอทโปรดัคเป็นแบบกระจาย เชื่อมโยง และสับเปลี่ยน โดยใช้สมบัติการแจกแจงของผลิตภัณฑ์ดอท

จากนั้นใช้คุณสมบัติการสลับที่และเชื่อมโยงของผลิตภัณฑ์ดอท

เอาล่ะ

นี่จะมากกว่า 0 สำหรับk ใดๆ

ตอนนี้ เราจะหาค่า k = b/2a ในฟังก์ชัน f(k) ก่อนที่เราจะประเมิน เราควรรู้แน่นอนว่าตัวส่วนไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้น a = yy โดยที่ y เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ก่อนหน้านี้เราได้กำหนดว่าความยาวของเวกเตอร์จริงใดๆ มีค่ามากกว่า 0 ดังนั้น a จึงไม่เป็นศูนย์และเท่ากับ 2a

การประเมิน,

การทำให้อสมการง่ายขึ้นทำให้เรา

การคืนค่าเดิม a, b และ c,

หยั่งรากในสองด้านของความไม่เท่าเทียมกัน

นี่คืออสมการโคชี-ชวาร์ซ เพราะฉะนั้น พิสูจน์!

ยกเว้นสิ่งนี้ มีหลายรูปแบบที่สามารถพิสูจน์ความเหลื่อมล้ำนี้ได้

ตอนนี้ ก่อนที่เราจะไปที่แอปพลิเคชัน ผมขอชี้ให้เห็นสิ่งหนึ่งก่อน จะเป็นอย่างไรถ้าเวกเตอร์หนึ่งในอสมการคือผลคูณของสเกลาร์ของอีกเวกเตอร์หนึ่ง แปลว่า จะเป็นอย่างไรถ้า

แล้ว,

ดังนั้น ในกรณีที่เวกเตอร์หนึ่งในอสมการคือผลคูณของสเกลาร์ของอีกเวกเตอร์หนึ่ง อสมการโคชี-ชวาร์ซจะกลายเป็นความเท่าเทียมกัน

แอพพลิเคชั่น

ความไม่เท่าเทียมกันนี้ถูกนำไปใช้ในหลายสาขาและพื้นที่ของการศึกษา เช่น ในพีชคณิตเชิงเส้น (เมทริกซ์ เวกเตอร์ และการแปลง) ทฤษฎีความน่าจะเป็น (ตัวแปรสุ่ม ค่าคาดหมาย และสหสัมพันธ์) เช่นเดียวกับในฟิสิกส์ (หลักการความไม่แน่นอนและเสียงโฟตอน) และวิศวกรรม (ค่ารูทเฉลี่ยกำลังสองเทียบกับค่าพีคของรูปคลื่น)

ในเรขาคณิต สามารถใช้หามุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวได้ อสมการ Cauchy-Schwarz บอกเป็นนัยว่า ถ้าเวกเตอร์ x และ y ไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่

หากคุณทราบอสมการรูปสามเหลี่ยมจากการวิเคราะห์ กำหนดเป็น

เมื่อทราบคุณสมบัติทางพีชคณิต เวกเตอร์ และผลคูณภายในอย่างง่ายแล้ว อสมการสามเหลี่ยมนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้อสมการคอชี-ชวาร์ซ

สมการ

ใช้ในสถิติ โดยเฉพาะในทฤษฎีความน่าจะเป็นเพื่อพิสูจน์อสมการความแปรปรวนร่วม โดย 'Var' หมายถึงความแปรปรวน และ 'Cov' หมายถึงความแปรปรวนร่วม

ในแคลคูลัสหลายตัวแปรซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตรของฉันที่ Warwick มีการใช้อสมการนี้ในขณะที่กำหนดและพิสูจน์ความสัมพันธ์ระหว่าง |Ax| และ |x| จากที่บรรทัดฐานของตัวดำเนินการเกิดขึ้นเมื่อ x มีช่วงมากกว่า R^n โดยที่

L(R^n,R^k) คือพื้นที่ของแผนที่เชิงเส้น

ดังนั้น ในบทความนี้ เราจึงเจาะลึกลงไปในผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งในคณิตศาสตร์ขั้นสูง ซึ่งเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มากในการพิสูจน์หลาย ๆ อย่าง และในการทำความเข้าใจแนวคิดต่าง ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์