Se ricordi solo vagamente la lezione di matematica della scuola elementare, potresti non ricordare cos'è un numero primo. È un peccato, perché se stai cercando di proteggere le tue e-mail dagli hacker o di navigare sul Web in modo confidenziale su una rete privata virtuale (VPN), stai usando i numeri primi senza nemmeno rendertene conto.
Questo perché i numeri primi sono una parte cruciale della crittografia RSA , uno strumento comune per la protezione delle informazioni, che utilizza i numeri primi come chiavi per sbloccare i messaggi nascosti all'interno di quantità gigantesche di ciò che viene travestito da incomprensioni digitali. Inoltre, i numeri primi hanno altre applicazioni nel mondo tecnologico moderno, incluso un ruolo importante nella definizione dell'intensità del colore dei pixel sullo schermo del computer che stai guardando ora.
Quindi, cosa sono i numeri primi, comunque? E come sono diventati così importanti nel mondo moderno?
Come spiega Wolfram MathWorld , un numero primo – noto anche semplicemente come primo – è un numero positivo maggiore di 1 che può essere diviso solo per l'uno e per se stesso.
"L'unico numero primo pari è 2", spiega Debi Mink , professore associato di educazione recentemente in pensione presso l'Indiana University Southeast, la cui esperienza include l'insegnamento della matematica elementare. "Tutti gli altri numeri primi sono numeri dispari."
I numeri come 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17 sono tutti considerati numeri primi. Numeri come 4, 6, 8, 9, 10 e 12 non lo sono.
Mark Zegarelli, autore di numerosi libri di matematica nella popolare collana "For Dummies" che tiene anche corsi di preparazione ai test, offre un'illustrazione che coinvolge monete che usa con alcuni dei suoi studenti per spiegare la differenza tra numeri primi e numeri composti , che può essere diviso per altri numeri oltre a uno e loro stessi. (I numeri composti sono l'opposto dei numeri primi.)
"Pensa al numero 6", dice Zegarelli, citando un numero composto. "Immagina di avere sei monete. Potresti formare un rettangolo, con due file di tre monete. Puoi farlo anche con otto, mettendo quattro monete in due file. Con il numero 12, potresti farlo diventare più di un tipo di rettangolo: potresti avere due file di sei monete o tre volte quattro".
"Ma se prendi il numero 5, non importa quanto ci provi, non puoi metterlo in un rettangolo", osserva Zegarelli. "Il meglio che puoi fare è metterlo in una riga, una singola riga di cinque monete. Quindi, potresti chiamare 5 un numero non rettangolare. Ma il modo più semplice per dirlo è chiamarlo un numero primo. "
Ci sono molti altri numeri primi: anche 2, 3, 7 e 11 sono nella lista, e da lì continua a scorrere. Il matematico greco Euclide, intorno al 300 a.C., ideò una Prova dell'Infinità dei Primi , che potrebbe essere stata la prima prova matematica a dimostrare che esiste un numero infinito di numeri primi. (Nell'antica Grecia, dove il concetto moderno di infinito non era del tutto compreso, Euclide descriveva la quantità di numeri primi semplicemente come "più di qualsiasi moltitudine assegnata di numeri primi". )
Un altro modo di intendere i numeri primi ei numeri composti è pensarli come il prodotto di fattori, dice Zegarelli. "2 per 3 è uguale a 6, quindi 2 e 3 sono fattori di 6. Quindi, ci sono due modi per fare sei: 1 per 6 e 2 per 3. Mi piace pensarli come coppie di fattori. Quindi, con un composto numero, hai più coppie di fattori, mentre con un numero primo hai solo una coppia di fattori, una volta il numero stesso. "
Dimostrare che il numero di numeri primi è infinito non è così difficile, dice Zegarelli. "Immagina che ci sia un ultimo numero primo più grande. Lo chiameremo P. Quindi prenderò tutti i numeri primi fino a P e li moltiplicherò tutti insieme. Se lo faccio e aggiungo uno al prodotto , quel numero deve essere un numero primo."
Se un numero è un composto, al contrario, è sempre divisibile per una quantità di numeri primi inferiori. "Un composto potrebbe essere divisibile anche per altri composti, ma alla fine lo si può scomporre in un insieme di numeri primi." (Un esempio: il numero 48 ha 6 e 8 come fattori, ma lo si può scomporre ulteriormente in 2 volte 3 volte 2 volte 2 volte 2.)
Perché i numeri primi sono importanti?
Allora perché i numeri primi hanno esercitato un tale fascino tra i matematici per migliaia di anni? Come spiega Zegarelli, molta della matematica superiore si basa sui numeri primi. Ma c'è anche la crittografia, in cui i numeri primi hanno un'importanza fondamentale, perché i numeri veramente grandi possiedono una caratteristica particolarmente preziosa. Non c'è un modo semplice e veloce per dire se sono prime o composite, dice.
La difficoltà di discernere tra numeri primi enormi e composti enormi consente a un crittografo di ottenere enormi numeri composti che sono fattori di due numeri primi davvero grandi, composti da centinaia di cifre.
"Immagina che la serratura della tua porta sia un numero di 400 cifre", dice Zegarelli. "La chiave è uno dei numeri di 200 cifre che è stato utilizzato per creare quel numero di 400 cifre. Se ho uno di questi fattori in tasca, ho la chiave di casa". Ma se non Non ho questi fattori, è dannatamente difficile entrare.
Ecco perché i matematici hanno continuato a lavorare per ottenere numeri primi sempre più grandi, in un progetto in corso chiamato Great Internet Mersenne Prime Search . Nel 2018, quel progetto ha portato alla scoperta di un numero primo che consisteva di 23.249.425 cifre, sufficienti per riempire 9.000 pagine di libri, come ha descritto il matematico dell'Università di Portsmouth (Inghilterra) Ittay Weiss in The Conversation . Ci sono voluti 14 anni di calcoli per ottenere il gigantesco numero primo, che è più di 230.000 volte più grande del numero stimato di atomi nell'universo osservabile!
Puoi immaginare quanto Euclide possa esserne colpito.
Ora è fantastico
Sebbene molti abbiano creduto che i numeri primi siano casuali, in un articolo del 2016, due matematici della Stanford University hanno descritto uno schema apparente precedentemente sconosciuto, in cui i numeri primi tendevano a essere seguiti da altri numeri primi che terminano con determinate cifre, come spiega questo articolo di Wired . Ad esempio, tra il primo miliardo di numeri primi, un numero primo che termina in 9 ha circa il 65% di probabilità in più di essere seguito da un numero primo in uno piuttosto che essere seguito da un numero primo in nove.
