La costante di Eulero

"e". Tutti noi ci siamo imbattuti in "e". Che cos'è?

È il quinto alfabeto e la seconda vocale nella lingua inglese. È quello che diciamo quando mostriamo a qualcuno i nostri denti. Ma i matematici lo riconoscono come la costante di Eulero . Accanto ad altre importanti costanti matematiche come π , i, Φ , sqrt{2}, ecc., questo numero costante e irrazionale ha un valore di 2.718281828459045235……

La maggior parte delle costanti matematiche sono geometriche. Ad esempio, π è il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro, sqrt{2} è la lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano l'unità. Ma "e" è una costante che non è definita dalla geometria o da alcuna forma. Si basa sulla crescita o sul tasso di cambiamento. Ma come?

Torniamo al XVII secolo, quando Jacob Bernoulli lavorava sull'interesse composto, cioè guadagnando interessi sui tuoi soldi.

Supponiamo che tu faccia parte di una banca, una banca molto generosa. Diciamo che hai dato alla banca ₹ 1 e la banca paga un interesse del 100% all'anno. (Una banca davvero molto generosa). Quindi ora, verso la fine dell'anno, avrai ₹ 2. Quindi, se guadagni un interesse del 50% ogni 6 mesi, ti ritroverai con lo stesso importo, ₹ 2? O più di questo? o meno di così? Calcoliamo e vediamo, d'accordo?

Bene, questo dimostra che se prendi un interesse del 50% ogni 6 mesi, ti aiuterà a guadagnare di più che avere un interesse del 100% annuo. E se prendi 1/12 di interesse ogni mese?

Allora sarà,

Se viene dato 1/52 di interesse a settimana, l'importo finale sarebbe,

Che dire di 1/365 di interesse ogni giorno, quindi il tuo importo verso la fine dell'anno dopo aver dato ₹ 1 alla banca sarebbe,

Allo stesso modo puoi calcolare la quantità di denaro che guadagni ogni ora, ogni minuto, ogni secondo o anche ogni millisecondo!

Quindi, cosa osservi? Il valore viene calcolato all'aumentare di n utilizzando la formula generale, as

Quindi, puoi notare che all'aumentare del valore di n, il valore si avvicina sempre di più a un certo valore. Questo è il valore di "e".

Ma Jacob Bernoulli non ha calcolato il valore della costante. Sapeva solo che il suo valore sarebbe stato tra 2 e 3. Fu Eulero che alla fine calcolò questa costante e dimostrò che era irrazionale. Ha usato una formula per calcolare il valore, no

Ma un'altra formula. Ha usato la seguente formula.

Questa è una frazione continua . Puoi dire che mentre va avanti all'infinito, c'è uno schema per questa frazione, 2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,……Quindi, se va avanti all'infinito, quindi, è una frazione irrazionale. Se fosse terminato, sarebbe stato razionale in quanto puoi scriverlo come frazione. Quindi, questo dimostra che "e" è una costante irrazionale.

Per calcolare il valore di "e", Eulero usò una formula diversa. Questo è,

“e”, è il linguaggio naturale della crescita, è il linguaggio naturale del calcolo. Come mai?

La figura sopra mostra il grafico di e^x. Ora, la specialità di un grafico e^x è che, se prendi un qualsiasi punto del grafico, il valore di quel punto è e^x, il gradiente in quel punto è e^x e l'area sotto il grafico da quel punto in avanti fino a -∞ è anche e^x. Quindi, quando integri o differenzi e^x, ottieni e^x stesso. Questa costante "e", costituisce uno strumento molto forte nel calcolo.

La costante "e" di Eulero è anche nota per riunire alcune delle grandi costanti matematiche in una formula, cioè la radice di -1, che è i, π, 1 e 0. Questa è anche spesso definita come la più bella equazione in matematica:

Scriverò di più su questa equazione in un prossimo articolo.