Prova semplice

Un numero pari più un numero pari fa un numero pari.

Un numero dispari più un numero dispari fa un numero dispari.

Un dispari più un pari fa un dispari.

Probabilmente ti è stata insegnata quella semplice regola alle elementari. Ero. E sembra essere vero. Provalo un paio di volte, con pochi numeri diversi, e funziona sempre. (In caso contrario, controlla il tuo lavoro. Se continua a non funzionare, pubblica.)

Ma funziona per tutti i numeri? Non importa quanto grande?

La differenza tra la matematica che di solito ci viene insegnata a scuola e la matematica che fanno i matematici è questa:

1. A scuola ci insegnano questo tipo di regole in modo che possiamo usarle quando "facciamo matematica".
2. I matematici cercano di scoprire quali sono le regole e escogitano gli argomenti più concisi ed eleganti possibili per mostrare perché quelle regole sono (o non sono) vere.

Come Paul Lockhart descrive in modo persuasivo (e umoristico) nel suo saggio A Mathematician's Lament, l'arte di trovare la verità è sia vera matematica, sia molto divertente. E non devono essere le prove formali e rigide che a volte vengono insegnate a scuola. Si tratta solo di cercare schemi e fare un'argomentazione elegante.

Invece di dire ai giovani studenti regole sulle somme di numeri pari e dispari, cosa succederebbe se prima chiedessimo loro di capire quali potrebbero essere le regole e poi chiedessimo loro di trovare una spiegazione del perché è una regola?

Ecco un esempio del tipo di pensiero che potrebbe entrare in una "prova", che è solo una delle tante possibili soluzioni:

Innanzitutto, contiamo non con cifre astratte ma con oggetti tangibili, in questo caso quadrati. Ecco cinque quadrati:

[immagine di diversi quadrati posizionati arbitrariamente]

Poiché un numero pari significa che può essere diviso per due, sappiamo che possiamo disporre un numero pari di quadrati in due file della stessa lunghezza, e le estremità saranno 'quadrate':

Un numero dispari, d'altra parte, avrà sempre un'estremità "irregolare" in cui le righe non si allineano:

Riorganizzando queste immagini, ora possiamo vedere che le nostre regole sembrano essere vere. Due numeri pari, disposti uno dopo l'altro, hanno le estremità pari.

Capovolgendo un numero dispari e attaccando insieme le due estremità irregolari, anche due numeri dispari hanno estremità pari.

Ma uno dispari e uno pari, non importa come giriamo e ruotiamo, non ci dà mai fine pari.

Questo sarà vero indipendentemente dalla lunghezza dei nostri numeri, perché tutto ciò che conta è se le estremità sono irregolari o quadrate. (Quei fulmini hanno lo scopo di suggerire una distanza arbitraria... immagina che ci siano migliaia di quadrati lì dentro.)

QED

È una prova matematica valida? Importa? Un bambino, o un gruppo di bambini, che ha passato il tempo a escogitare questo tipo di "dimostrazioni" svilupperà una comprensione e forse un entusiasmo per la matematica che nessuna quantità di esercizi meccanici gli darà. Ancora più importante, inizieranno a imparare "cosa fare quando non sai cosa fare". Cioè, la fiducia necessaria per risolvere problemi che non hai mai visto prima, invece di seguire semplicemente i passaggi dei problemi che hai.